Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali

Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:

${\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,\left({\text{oppure }}u_{t}-\Delta u=0\right)\\u\mid _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$

Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti a equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda ${\mathcal {L}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$. Ora ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire quali sono, e come si trovano, i numeri $\lambda$ tali che:

${\begin{cases}-\Delta u=\lambda u,\,\in \Omega \\B.C.\end{cases}}$

Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.

Innanzitutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta $u(x,t)=e^{i\lambda t}v(x)$ la soluzione (o presunta tale) dell'equazione $u_{tt}-\Delta u=0$, si ricava:

$\Delta v(x)=-\lambda ^{2}v(x)$

che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi +V(x)\psi ,\;\psi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C} ,\;V:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

Posto $\psi (x,t)=e^{-iEt}\phi (x)$ si ottiene:

$\left(-{\frac {1}{2}}\nabla +V\right)\phi =E\phi$

Detto ${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}V+H$, si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che $\psi \in {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})$.

Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:

• l'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su ${\mathcal {D}}(\Delta _{D,N,R})$;
• l'operatore laplaciano è un operatore simmetrico su ${\mathcal {L}}^{2}(\Omega )$.

Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale.

Teorema (1)

Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:

• gli autovalori di $\Delta _{D,N,R}$ sono reali;
• le autofunzioni possono essere prese reali;
• ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;
• gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.

Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

Teorema (2)

• gli autovalori di $\Delta _{D}$ sono positivi;
• gli autovalori di $\Delta _{N}$ sono non negativi, e $\lambda =0$ è autovalore;
• gli autovalori di $\Delta _{R}$ sono non negativi se $\alpha (x)\geq 0$

Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo modulo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.