Equazioni differenziali alle derivate parziali/Cariche immagine per la sfera: la riflessione di Kelvin

Come ultimo esempio di applicazione della formula di rappresentazione per risolvere problemi al bordo si consideri il caso in cui $\Omega =B(0,R)$ in ${\mathbb {R}}^{3}$.

Anche in questo caso il vero problema consiste nella determinazione della funzione di Green. Come visto per i due casi precedente si vuole trovare $x^{\star }$ tale che $\Phi (x-y)-h(y)=0$. In questo caso però occorre introdurre un secondo parametro, oltre a $x^{\star }$, che andrà determinato; altrimenti con la sola scelta $h(y)=\Phi (x^{\star }-y)$ non si riuscirebbe a determinare completamente l'espressione di $G(x,y)$. Pertanto sia $h(y)=h_{x}(y)={\frac {q}{4\pi \mid x^{\star }(x)-y}}$, con $x^{\star }$ e $q$ da determinare. Dunque, se $y\in \partial B(0,R)$ con $\mid {\underline {y}}\mid =R$, deve essere che:

$\Phi (x,y)-q\Phi (x^{\star },y)=0$

Più precisamente, essendo $\Phi (x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}$, si ha:

$q\mid x-y\mid =\mid x^{\star }-y\mid$

Passando ai quadrati, dovendo valere $\forall y\in \partial B(0,R)$ la relazione appena scritta, si ha che:

$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x^{\star }}}\mid \mid {\underline {y}}\mid =q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}\mid +\mid {\underline {y}}\mid ^{2}-2\mid {\underline {x}}\mid \mid {\underline {y}}\mid \right)$

Ricordando che $\mid {\underline {y}}\mid =R$ si può riscrivere l'equazione sopra separando i termini che contengono il termine ${\underline {y}}$ da quelli che non lo contengono così da ottenere:

$\mid {\underline {x}}^{\star }\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=2\left(q^{2}{\underline {x}}-{\underline {x}}^{\star }\right){\underline {y}}$

Dovendo valere $\forall \,y\in \partial B(0,R)$ deve quindi essere che:

$q^{2}{\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$

In definitiva si ottiene:

$q^{4}\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}-q^{2}\left(\mid {\underline {x}}\mid ^{2}+R^{2}\right)=0$

da cui si possono ricavare i valori di $q^{2}$:

$q^{2}=1\;{\text{v}}\;q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$

Il valore $q^{2}=1$ non è accettabile perché porterebbe a concludere ${\underline {x}}={\underline {x}}^{\star }$, dunque si conclude che $q^{2}={\frac {R^{2}}{\mid {\underline {x}}\mid ^{2}}}$. In definitiva:

$q={\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }},\;{\underline {x}}^{\star }=\left({\frac {R}{\mid {\underline {x}}\mid }}\right)^{2}{\underline {x}}$

Una riflessione del punto ${\underline {x}}$ in ${\underline {x}}^{\star }$ siffatta è anche detta riflessione di Kelvin. Si conclude che per il caso considerato la funzione di Green, che potrà essere usata per scrivere espressamente $u(x)$ con la formula di rappresentazione, è data da:

$G(x,y)={\frac {1}{4\pi \mid x-y\mid }}-{\frac {R}{\mid x\mid }}{\frac {1}{4\pi \mid {\frac {R^{2}}{\mid x\mid ^{2}}}x-y\mid }}$