Equazioni differenziali alle derivate parziali/La formula di rappresentazione

Nel modulo precedente si è osservata l'importanza delle soluzioni fondamentali del laplaciano in ${\mathbb {R}}^{n}$ nella definizione delle soluzioni delle equazioni differenziali di cui ci stiamo occupando. Più precisamente si è dimostrato che le soluzioni dell'equazione di Poisson possono essere scritte in funzione della soluzione fondamentale del laplaciano. In questo modulo si metterà in luce l'estrema importanza di $\Phi (x-y)$ nel definire quella che viene chiamata formula di rappresentazione.

Teorema (1)

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto con frontiera regolare e sia $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ tale che $\int _{\Omega }\left|\Delta u\right|<+\infty$, ovvero $u\in L^{1}(\Omega )$. Allora si ha la formula di rappresentazione:

$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(\Phi (x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}-u(y){\frac {\partial \Phi (x-y)}{\partial {\hat {n}}}}\right)dy-\int _{\Omega }\Phi (x-y)\Delta u(y)dy$

Prima di procedere con la dimostrazione si tengano presenti la seguenti osservazioni:

Innanzitutto si nota che per funzioni armoniche, essendo $\Delta u=0$, la formula di rappresentazione assume la forma:

$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(\Phi (x-y){\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}-u(y){\frac {\partial \Phi (x-y)}{\partial {\hat {n}}}}\right)dy$

In cui si nota che, essendo $\Phi (x-y)\in C^{\infty }$, anche l'integranda lo sarà. Pertanto quella appena scritta è un'altra rappresentazione di $u(x)$ come funzione di classe $C^{\infty }$

Se si vuole usare la formula di rappresentazione per risolvere $-\Delta u=f$ si nota che essa in realtà ci dà l'espressione di una funzione che è quasi una soluzione dell'equazione di Poisson. Più precisamente, si ha che per poter usare $u(x)$, scritta con la formula di rappresentazione, per risolvere $-\Delta u=f$ si dovrebbero conoscere due valori al bordo: quello di $u(y)$ e quello di ${\frac {\partial u(y)}{\partial {\hat {n}}}}$ ma il problema al bordo con condizione di Dirichlet fissa solo uno di questi due valori.

Veniamo ora alla dimostrazione del teorema.

Dimostrazione

Sia, per comodità, $\Psi (y)=\Phi (x-y)$. Si ha che $\Psi (y)$ è localmente integrabile nell'intorno della singolarità, quindi si avrà:

$\int _{B(x,\epsilon )}\Psi (y)dy<+\infty$

Dunque $\Psi (y)\Delta u(y)\in L^{1}(\Omega )$. Allora si ha che:

$\int _{\Omega }\Psi (y)\Delta u(y)dy=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\Psi (y)\Delta u(y)dy$

Calcolando esplicitamente il limite si ha che:

$\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\Psi (y)\Delta u(y)dy=\int _{\partial \Omega }\left(\Psi {\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial \Psi }{\partial {\hat {n}}}}\right)d\sigma (y)+\int _{\partial B}\left(\Psi {\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial \Psi }{\partial {\hat {n}}}}\right)d\sigma (y)$

Per scrivere questa uguaglianza si è usata la prima identità di Green è si è osservato che

$\int _{\Omega \setminus B(x,\epsilon )}\delta \Psi (y)u(y)dy=0$

Il secondo degli addendi scritti sopra è già stato calcolato nel lemma che si è usato nel modulo riguardo alle soluzioni dell'equazione di Poisson e si è osservato che il risultato di quell'integrale è $-u(x)$. In definitiva, passando al limite $\epsilon \rightarrow 0$, si ottiene:

$\int _{\Omega }\Psi (y)\Delta u(y)dy=\int _{\partial \Omega }\left(\Psi u_{\hat {n}}-\Psi _{\hat {n}}u\right)d\sigma (y)-u(x)$

Da cui segue la tesi.

In realtà vale una versione ben più generica della formula di rappresentazione. Si consideri una funzione $h\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$, armonica in $\Omega$. Si consideri poi la funzione ${\mathcal {G}}(x,y)=\Phi (x-y)\pm h(y)$. La formula di rappresentazione continuerà a valere anche per lo scambio $\Psi \mapsto {\mathcal {G}}$. Infatti, data:

$\int _{\Omega }h\Delta udy={\underset {=0}{\underbrace {\int _{\Omega }u\Delta hdy} }}+\int _{\partial \Omega }\left(h{\frac {\partial u}{\partial {\hat {n}}}}-u{\frac {\partial h}{\partial {\hat {n}}}}\right)$

Sommando membro a membro con la formula di rappresentazione data dal teorema enunciato sopra si ottiene:

$u(x)=\int _{\partial \Omega }\left(G(x,y)u_{\hat {n}}-G(x,y)_{\hat {n}}u(y)\right)d\sigma (y)-\int _{\Omega }G(x,y)\Delta u(y)dy$

La funzione $G(x,y)$ prende il nome di funzione di Green. Sostanzialmente l'uso della formula di rappresentazione, nella sua forma più generale, ci permette di sistematizzare il problema al bordo da cui partiamo, ma non garantisce che esso sia risolvibile. Più precisamente, nell'uso della formula di rappresentazione non si è certi del fatto che il problema in $h(y)$ che si ottiene sia risolvibile. Sebbene qui non verrà fatto esplicitamente, è possibile provare che la funzione di Green $G(x,y)$ esiste sempre. Nel modulo successivo ci occuperemo di sfruttare i risultati ora ottenuti per andare a illustrare alcuni esempi di casi particolari in cui è conveniente usare la formula di rappresentazione.