Equazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni

Si è visto che le soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore possono essere scritte nella forma:

$\mathrm{\Phi }(x)=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2\pi }\log \mid x\mid ,n=2\\ \frac{1}{n(n-2){\alpha }_n}\frac{1}{\mid x{\mid }^{n-2}},n\ge 3\end{array}$

$E(x,t)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{\mid x{\mid }^2}{4t}},t>0\\ 0,t\le 0\end{array}$

Vogliamo chiederci quale sia il significato degli operatori laplaciano $\mathrm{\Delta }$ e $\mathscr{H}={\partial }_t-\mathrm{\Delta }$, ovvero gli operatori che definiscono le equazioni di cui le funzioni appena scritte sono soluzioni fondamentali, in teoria delle distribuzioni.

Iniziamo considerando il caso di $\mathrm{\Delta }$. $\mathrm{\Phi }(x,y)\in L_{loc}^1({ℝ}^n)$, dunque è possibile associarle la distribuzione $T_{\mathrm{\Phi }}(v)$:

$T_{\mathrm{\Phi }}(v)={\int }_{{ℝ}^n}\mathrm{\Phi }(x)v(x)dx$

Ora, su $T_{\mathrm{\Phi }}$ si vuole studiare l'azione di $\mathrm{\Delta }$:

$\mathrm{\Delta }{T}_{\mathrm{\Phi }}(v)=T_{\mathrm{\Phi }}(v)={\int }_{{ℝ}^n}\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{\Delta }v(x)dx=$

$=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{{ℝ}^n\setminus B(0,ϵ)}\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{\Delta }v(x)dx=-v(0)={\delta }_0(v)$

Si conclude quindi che, in teoria delle distribuzioni, l'azione dell'operatore laplaciano su una sua soluzione fondamentale corrisponde a una distribuzione singolare: la delta di Dirac. Ovvero:

$-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(x)={\delta }_0(v(x))$

Chiaramente varrà la stessa proprietà anche nel caso in cui si consideri $\mathrm{\Phi }(x-x_0)$:

$-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(x-x_0)={\delta }_{x_0}(v(x))$

Si consideri ora il caso dell'equazione del calore:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\mathrm{\Delta }u=0,x\in {ℝ}^n,t\in ℝ\\ \underset{t\to 0^{+}}{lim}u(x,t)=\varphi (x)\end{array}$

Con $u(x,t)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\frac{\mid x-y{\mid }^2}{4t}}\varphi (y)dy$. Definiamo $E(x,t)$ come:

$E(x,t)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{\mid x{\mid }^2}{4t}},t>0\\ 0,t\le 0\end{array}$

Essa è detta soluzione fondamentale dell'equazione del calore perché si ha la possibilità di scrivere:

$\mathscr{H}E=({\partial }_t-\mathrm{\Delta })E=0,t>0,\mathrm{\forall }x$

Ci si chiede quale sia il significato di $\mathscr{H}E$ in teoria delle distribuzioni. In analogia con il caso dell'equazione di Laplace è lecito aspettarsi che $\mathscr{H}E={\delta }_{(0,0)}$.

$E(x,t)$ è localmente integrabile, dunque:

$\mathscr{H}E(\varphi )=-E({\partial }_t\varphi +\mathrm{\Delta }\varphi )=-{\int }_{{ℝ}^n\times ℝ}E(x,t)[\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\Delta }\varphi ]dxdt$

Dunque:

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{ϵ}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{{ℝ}^n}-E(x,t)[-\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\Delta }\varphi ]dxdt=$

Integrando per parti:

$=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{ϵ}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{{ℝ}^n}[-\frac{\partial E\varphi }{\partial t}+\varphi \underset{=0}{\underbrace{[\frac{\partial E}{\partial t}-\mathrm{\Delta }E]}}]=$

$=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{{ℝ}^n}{[-E(x,t)\varphi (x)]}_{ϵ}^{+\mathrm{\infty }}dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{{ℝ}^n}E(x,ϵ)\varphi (x,ϵ)dx=$

$=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{{ℝ}^n}\frac{1}{(4\pi ϵ{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{x^2}{4ϵ}}\varphi (x,ϵ)dx=$

Effettuando la sostituzione $\frac{x}{2\sqrt{ϵ}}=y$

$=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{{ℝ}^n}\frac{1}{(4\pi ϵ{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\mid y{\mid }^2}\varphi (2\sqrt{2}y,ϵ)(2\sqrt{2}{)}^{n}dy=$

$={\int }_{{ℝ}^n}\frac{e^{-\mid y{\mid }^2}}{{\pi }^{\frac{n}{2}}}\varphi (0,0)dy={\delta }_{(0,0)}$

Rimane quindi provato che:

$\mathscr{H}E(x,t)={\delta }_{(0,0)}(\varphi ),\mathrm{\forall }\varphi \in 𝒟({ℝ}^n\times ℝ)$

Si osserva inoltre che:

$\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\frac{\mid x-y{\mid }^2}{4t}}\varphi (y)dy=\varphi (x)={\delta }_x(\varphi ),\mathrm{\forall }\varphi \in 𝒟({ℝ}^n)$

Si ha che la soluzione fondamentale soddisfa l'equazione del calore con dato iniziale ${\delta }_x(\varphi )$ .