Equazioni differenziali alle derivate parziali/Soluzioni fondamentali e distribuzioni

Si è visto che le soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore possono essere scritte nella forma:

$\Phi (x)={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x\mid ,\;n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha _{n}}}{\frac {1}{\mid x\mid ^{n-2}}},\;n\geq 3\end{cases}}$

$E(x,t)={\begin{cases}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid x\mid ^{2}}{4t}}},\;t>0\\0,\;t\leq 0\end{cases}}$

Vogliamo chiederci quale sia il significato degli operatori laplaciano $\Delta$ e ${\mathcal {H}}=\partial _{t}-\Delta$, ovvero gli operatori che definiscono le equazioni di cui le funzioni appena scritte sono soluzioni fondamentali, in teoria delle distribuzioni.

Iniziamo considerando il caso di $\Delta$. $\Phi (x,y)\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, dunque è possibile associarle la distribuzione $T_{\Phi }(v)$:

$T_{\Phi }(v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x)v(x)dx$

Ora, su $T_{\Phi }$ si vuole studiare l'azione di $\Delta$:

$\Delta T_{\Phi }(v)=T_{\Phi }(v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (x)\Delta v(x)dx=$

$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B(0,\epsilon )}\Phi (x)\Delta v(x)dx=-v(0)=\delta _{0}(v)$

Si conclude quindi che, in teoria delle distribuzioni, l'azione dell'operatore laplaciano su una sua soluzione fondamentale corrisponde a una distribuzione singolare: la delta di Dirac. Ovvero:

$-\Delta \Phi (x)=\delta _{0}(v(x))$

Chiaramente varrà la stessa proprietà anche nel caso in cui si consideri $\Phi (x-x_{0})$:

$-\Delta \Phi (x-x_{0})=\delta _{x_{0}}(v(x))$

Si consideri ora il caso dell'equazione del calore:

${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial t}}-\Delta u=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} \\\lim _{t\rightarrow 0^{+}}u(x,t)=\phi (x)\end{cases}}$

Con $u(x,t)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}}\phi (y)dy$. Definiamo $E(x,t)$ come:

$E(x,t)={\begin{cases}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid x\mid ^{2}}{4t}}},\;t>0\\0,\;t\leq 0\end{cases}}$

Essa è detta soluzione fondamentale dell'equazione del calore perché si ha la possibilità di scrivere:

${\mathcal {H}}E=\left(\partial _{t}-\Delta \right)E=0,\;t>0,\forall \,x$

Ci si chiede quale sia il significato di ${\mathcal {H}}E$ in teoria delle distribuzioni. In analogia con il caso dell'equazione di Laplace è lecito aspettarsi che ${\mathcal {H}}E=\delta _{(0,0)}$.

$E(x,t)$ è localmente integrabile, dunque:

${\mathcal {H}}E(\phi )=-E(\partial _{t}\phi +\Delta \phi )=-\int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }E(x,t)\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\Delta \phi \right]dxdt$

Dunque:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\epsilon }^{+\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}-E(x,t)\left[-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\Delta \phi \right]dxdt=$

Integrando per parti:

$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\epsilon }^{+\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[-{\frac {\partial E\phi }{\partial t}}+\phi {\underset {=0}{\underbrace {\left[{\frac {\partial E}{\partial t}}-\Delta E\right]} }}\right]=$

$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[-E(x,t)\phi (x)\right]_{\epsilon }^{+\infty }dx=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}E(x,\epsilon )\phi (x,\epsilon )dx=$

$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(4\pi \epsilon )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4\epsilon }}}\phi (x,\epsilon )dx=$

Effettuando la sostituzione ${\frac {x}{2{\sqrt {\epsilon }}}}=y$

$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(4\pi \epsilon )^{\frac {n}{2}}}}e^{-\mid y\mid ^{2}}\phi (2{\sqrt {2}}y,\epsilon )(2{\sqrt {2}})^{n}dy=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {e^{-\mid y\mid ^{2}}}{\pi ^{\frac {n}{2}}}}\phi (0,0)dy=\delta _{(0,0)}$

Rimane quindi provato che:

${\mathcal {H}}E(x,t)=\delta _{(0,0)}(\phi ),\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )$

Si osserva inoltre che:

$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {\mid x-y\mid ^{2}}{4t}}}\phi (y)dy=\phi (x)=\delta _{x}(\phi ),\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$

Si ha che la soluzione fondamentale soddisfa l'equazione del calore con dato iniziale $\delta _{x}(\phi )$ .