Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione dei fluidi perfetti

In questo modulo verrà trattata brevemente un'equazione differenziale alle derivate parziali di cui non ci si occuperà ulteriormente durante il corso; tuttavia è bene dare una panoramica generale del fatto che esistano diversi tipi di equazioni alle derivate parziali.

Quello che si vuole fare è arrivare a un'equazione che possa descrivere i fluidi perfetti. Per fare ciò si supponga che siano note le seguenti quantità:

• il campo di velocità ${\underline {u}}({\underline {x}},t)$;
• la densità del fluido $\rho ({\underline {x}},t)$, grandezza con la quale è possibile definire la massa:

  $M(V,t)=\int _{V}\rho ({\underline {x}},t)d^{3}{\underline {x}}$

• la densità di forze, ovvero l'insieme delle reazioni esterne che agiscono s$u$n volume di prova $dV$. Sia essa ${\underline {f}}$.

L'equazione di Newton per un elemento infinitesimo di volume $dV$ è:

$\rho \left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial t}}+({\underline {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\underline {u}}\right)={\underline {f}}$

Il fluido sarà soggetto anche a una pressione, il cui gradiente altera lo stato del sistema. Pertanto l'equazione appena scritta va modificata in:

$\rho \left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial t}}+({\underline {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\underline {u}}\right)={\underline {f}}-{\overrightarrow {\nabla }}P$

L'equazione appena scritta prende il nome di equazione di Eulero. Chiaramente l'equazione di Eulero non è ben definita a meno di non aggiungere al sistema delle altre equazioni che ne caratterizzino completamente lo stato, altrimenti con la sola equazione di cui sopra, essendo ignoto il gradiente di pressione, non sarebbe possibile determinare l'espressione della soluzione.

Una seconda equazione che è necessaria ai fini della trattazione del problema che si sta considerando è l'equazione di continuità:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho {\underline {u}})=0$

Il passaggio al continuo permette di concludere che:

${\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho dV=-\int _{\partial V}(\rho {\underline {u}}){\hat {n}}d\sigma {\overset {Gauss}{=}}-\int _{V}\nabla (\rho {\underline {u}})dV$

Ovvero:

$\int \left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho {\underline {u}})\right]dV=0$

Anche con l'introduzione dell'equazione di continuità il sistema non è chiuso. Per far sì che la soluzione possa essere univocamente determinata è necessario considerare un'ultima equazione, detta equazione costitutiva, che permette di determinare le informazioni sulle caratteristiche del fluido. Essa sarà della forma:

${\mathcal {F}}(\rho ,P)=0$

Il sistema costituito dall'equazione di Eulero, da quella di continuità e da quella costitutiva prende il nome di sistema di Eulero ed è un sistema chiuso e risolvibile.

Per completezza è possibile considerare anche la componente di attrito viscoso ${\underline {f}}_{\mu }=-\mu \Delta {\underline {u}}$. In questo caso si ottiene l'equazione di Navier-Stokes:

$\rho \left({\frac {\partial {\underline {u}}}{\partial t}}+({\underline {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\underline {u}}\right)={\underline {f}}-{\overrightarrow {\nabla }}P-\mu \Delta {\underline {u}}$