Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier

Le principali proprietà della trasformata di Fourier sono riassunte dal seguente teorema.

Teorema (1)

Siano $u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Allora valgono le seguenti proprietà:

• la trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari, e dunque le norme in spazi di Hilbert:

  $\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\overline {v}}dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\overline {\hat {v}}}dx$

• $\left(\partial ^{\alpha }u\right)^{\hat {}}=(ik)^{\alpha }{\hat {u}}$, $\forall \alpha$ multiindice tale che $\partial ^{\alpha }u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$
• la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier; ovvero, date $u,v\in L^{1}\cap L^{2}$ e $u\star v(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(y)v(x-y)dy$ si ha che

  $(u\star v)^{\hat {}}(k)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\hat {u}}{\hat {v}}$

• proprietà di inversione: ogni funzione è l'antitrasformata della sua trasformata, ovvero

  $u=({\hat {u}})^{\check {}}={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ikx}{\hat {u}}(k)dk$

Dimostrazione

$u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\;\alpha \in \mathbb {C} ,\;\parallel u+\alpha v\parallel _{L^{2}}=\parallel {\hat {u}}+{\hat {\alpha v}}\parallel _{L^{2}}$. Questa uguaglianza tra norme può essere scritta esplicitamente come:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[\mid u\mid ^{2}+\mid \alpha v\mid ^{2}+{\overline {u}}(\alpha v)+u({\overline {\alpha v}})\right]dx=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left[\mid {\hat {u}}\mid ^{2}+\mid {\hat {\alpha v}}\mid ^{2}+{\overline {\hat {u}}}({\hat {\alpha v}})+{\overline {u}}({\overline {\alpha {\hat {v}}}})\right]dk$

$\Rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{n}}(\alpha {\overline {x}}v+{\overline {\alpha }}u{\overline {v}})dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(\alpha {\overline {\hat {u}}}{\hat {v}}+{\overline {\alpha }}{\hat {v}}{\overline {\hat {v}}})dk$

Da cui si ottiene $\alpha =1,i$ che combinati linearmente danno proprio il punto 1 del teorema.

Sia $u\in {\mathcal {C}}_{0}^{+\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, allora:

$\left(\partial ^{\alpha }u\right)^{\hat {}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikx}\partial _{x}^{\alpha }u(x)dx=$

$={\frac {(-1)^{\mid \alpha \mid }}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\partial _{x}^{\alpha }(e^{-ikx})u(x)dx=$

$=(ik)^{\alpha }{\hat {u}}(k)$

Nello spostare l'azione di $\partial ^{\alpha }$ su $e^{-ikx}$ si è effettuata un'integrazione per parti, in cui i termini di bordo tendono a zero a $\pm \infty$ grazie al supporto compatto di $u(x)$.

Si ha che

$(u\star v)^{\hat {}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikx}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(z)v(x-z)dzdx=$

$=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ikz}u(z)dz\right){\hat {v}}(k)=(2\pi )^{n/2}{\hat {u}}(k){\hat {v}}(k)$

Si può osservare che se $u,v\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ allora

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\check {u}}v=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\check {v}}$

Dunque, essendo ${\check {v}}={\overline {({\overline {v}})^{\hat {}}}}$, si ha che

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\hat {u}})^{\check {}}vdx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\check {v}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}{\overline {({\overline {v}})^{\hat {}}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u{\overline {\overline {u}}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}uv$