Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia cinetica

Sappiamo che i sistemi descritti dalle equazioni di moto dedotte dalle leggi cardinali della dinamica implicano, sotto alcune ipotesi, la definizione di una quantità conservata, detta energia. È opportuno chiedersi se vi sia un analogo per i fenomeni descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde appena dedotta.

Dalla seconda equazione di Newton

$m{\ddot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x)$

si può ricavare il valore dell'energia totale (meccanica) del sistema in maniera piuttosto naturale:

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x){\dot {x}}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}(t)+{\mathcal {U}}(x(t))\right)=0$

Dunque, per un sistema descritto da $m{\ddot {x}}=-{\mathcal {U}}^{\prime }(x)$, esiste una quantità conservata, che verrà chiamata energia, definita da:

$E(t)={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}(t)+{\mathcal {U}}(x(t))$

Ci chiediamo se qualcosa di simile possa valere per l'equazione delle onde in una dimensione:

$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$

Procedendo in modo analogo a quanto fatto per derivare l'espressione classica dell'energia si ha:

$\rho u_{tt}u_{t}-\tau u_{xx}u_{t}=0$

riscrivibile come:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\rho u_{t}^{2}\right)-\tau u_{xx}u_{t}=0$

Occorre capire come trattare il secondo addendo. Si nota che:

${\frac {\partial }{\partial x}}(u_{x}u_{t})=u_{xx}u_{t}+u_{x}u_{xt}=u_{xx}u_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}u_{x}^{2}\right)$

E quindi è possibile riscrivere:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)\right]+\tau {\frac {\partial }{\partial x}}(-u_{x}u_{t})=0$

Quella appena ottenuta è un'equazione di continuità, nella quale è possibile identificare una densità di energia:

$\epsilon ={\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)$

A cui è associato un flusso pari a:

$J=-\tau u_{x}u_{t}$

È anche possibile definire la relazione di cui sopra in forma integrale, passando al continuo, ottenendo:

${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}\left(\rho u_{t}^{2}+\tau u_{x}^{2}\right)dx=\left[u_{x}(b)u_{t}(b)-u_{x}(a)u_{t}(a)\right]\tau$

La densità di energia, o l'energia stessa se $\epsilon$ viene integrata sull'insieme di definizione del nostro problema, è una quantità conservata del sistema considerato nel caso in cui $J=0$. Questa condizione si verifica per differenti condizioni al bordo, tutte applicabili all'equazione delle onde considerata. Esse sono:

• condizioni al bordo di Dirichlet, equivalenti al problema di una corda vibrante con estremi fissi:

  $u(a;t)=0=u(b;t)$

• condizioni al bordo di Neumann:

  $u_{x}(a)=u_{x}(b)=0$

• condizioni al bordo periodiche:

  $u_{x}(a;t)=u_{x}(b;t),\;\;u(a;t)=u(b;t)\;\forall t\in \mathbb {R}$

  che equivalgono a studiare il problema dell'equazione delle onde su un cerchio (o su un toro in $\mathbb {R} ^{n}$).

Le condizioni al bordo di periodicità sono delle condizioni non locali, dal momento che mettono in relazione tra loro punti distanti del sistema.

È possibile definire delle condizioni al bordo più complesse, o comunque più generali, di quelle appena presentate. Un esempio sono le condizioni al bordo di Robin (o del terzo tipo):

$u_{x}(b)+\alpha (x)u(b)=0$

Volendo descrivere un fenomeno non confinato, in una dimensione ciò significa che il fenomeno si estende su tutta la retta reale, continuerebbe a valere la conservazione dell'energia perché è lecito supporre che le soluzioni siano tutte tali da svanire all'infinito. In generale è possibile enunciare la seguente proposizione:

Per ogni soluzione dell'equazione delle onde $\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$, valgono le seguenti proprietà:

• detta $\epsilon$ la densità di energia e detto $J$ il suo flusso, ovvero la densità di corrente di energia, vale che:

  ${\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon +{\frac {\partial }{\partial x}}J=0$

• la relazione precedente vale anche nel passaggio al continuo:

  ${\frac {d}{dt}}\int _{a}^{b}\epsilon dx=\tau \left[u_{x}(b)u_{t}(b)-u_{x}(a)u_{t}(a)\right]$

• l'energia è una quantità conservata del sistema quando il problema è definito con condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann oppure periodiche;
• la soluzione è di tipo classico, ovvero si richiede che sia $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2})$. Nel caso unidimensionale appena considerato è sufficiente anche solo che $u\in C^{2}((a,b)\times \mathbb {R} )$.

Queste considerazioni riguardo l'energia mettono in evidenza come la risoluzione di un'equazione alle derivate parziali abbia delle proprietà che vanno oltre la semplice estensione delle proprietà della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria.