Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale

In questo modulo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale. Si consideri $f=\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace \rightarrow \mathbb {R}$, $f(x)={\frac {1}{x}}$. Si definisce valore principale di ${\frac {1}{x}}$ la quantità

$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}dx$

Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera $\phi$ con supporto $\left[-r,r\right]$ si ha:

$\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\psi (x)}{x}}dx=\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\psi (x)-\psi (-x)}{x}}dx\leq 2r\sup _{x\in \left[-r,r\right]}\mid \phi ^{\prime }(x)\mid <+\infty$

Segue che $\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$ è limitato in $\epsilon$. Si può concludere che:

$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$

La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki.

Si calcoli

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\phi (x)}{x\pm i\epsilon }}dx$

La funzione integrata contro $\phi (x)$ è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:

${\frac {1}{x\pm i\epsilon }}={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mp {\frac {i\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$

Per la parte immaginaria si ha che:

${\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {1}{\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)^{2}+1}}$

Detta ${\frac {x}{\epsilon }}=s$ quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }\mp {\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=\pm i\pi \delta _{0}(\phi )$

Per la parte regolare occorre calcolare

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\phi (x)dx$

Si osserva che l'integranda è una distribuzione regolare della forma $T_{f}$. Definiamo $h_{\epsilon }(x)={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )$, distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per $x$, l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:

$\int _{0}^{+\infty }xh_{\epsilon }(x){\frac {\left(\phi (x)-\phi (0)\right)}{x}}dx$

Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:

$\mid xh_{\epsilon }(x)\mid =\mid {\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mid \leq 1$

Dunque ${\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}$ è la maggiorante integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=P_{\frac {1}{x}}$

Così da poter concludere la formula di Plemelj-Sochozki:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x\pm i\epsilon }}dx=\mp i\pi \delta _{0}(\phi )+P_{\frac {1}{x}}$

L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di $P_{\frac {1}{x}}$, infatti si è arrivati a:

$P_{\frac {1}{x}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}dx$