Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il moto browniano

Visti i modelli di D'Alembert e di Lagrange per derivare l'equazione delle onde e visto il modello deduttivo che porta alle equazioni di Fourier e del calore, in questo modulo ci si occuperà di un altro modello descrittivo che consente di ricavare un'equazione alle derivate parziali atta a descrivere un particolare fenomeno fisico: il moto browniano. Per moto browniano si intende un moto erratico, con derivata discontinua, di una qualsiasi specie di particelle in un solvente. Per la prima volta questo fenomeno venne studiato da Brown e, successivamente nel 1905, da Einstein, il cui modo di operare è descritto in questo modulo.

Verrà trattato, per questioni di semplicità, il caso monodimensionale. Ciò che si vuole fare è discutere il moto di un soluto impregiudicato in un solvente. Sia $\Phi ^{(\tau )}(y)$ la densità di probabilità che una particella di soluto si sposti nel solvente di una quantità $y$ in un tempo $\tau$. La probabilità che la particella, che al tempo $t$ si trovava in $x$, si trovi in $(x+y,\,x+y+dy)$ al tempo $t+\tau$ è data da:

$\Psi ^{(\tau )}(y)dy$

In quanto funzione densità di probabilità, essa deve soddisfare le seguenti proprietà:

• deve essere indipendente da $x$, dal momento che descrive un processo omogeneo. Tale proprietà è valida fintanto che si considerano particelle senza carica;
• essendo una probabilità, è necessario che essa sia normalizzata:

  $\int _{\mathbb {R} }\Psi ^{(\tau )}(y)dy=1$

• proprietà di simmetria per cui $\Psi ^{(\tau )}(y)=\Psi ^{(\tau )}(-y)$, che implica:

  $\int _{\mathbb {R} }y\Psi ^{(\tau )}(y)dy=0$

Sia $\rho (x;t)dx$ la probabilità che la particella di soluto si trovi in $(x,x+dx)$ al tempo $t$. Allora si ha la validità della seguente legge, detta di Champman-Kolmorogov:

$\rho (x,t+\tau )=\int _{\mathbb {R} }\rho (x-y,t)\Psi ^{(\tau )}(y)dy$

È anche possibile, sotto l'ipotesi che $x\gg y$ e $t\gg \tau$, scrivere:

$\rho (x;t+\tau )=\rho (x;t)+{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x;t)\tau +\dots$

$\rho (x-y;t)=\rho (x;t)-{\frac {\partial }{\partial x}}\rho (x;t)y+{\frac {y^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\rho (x;t)+\dots$

Sostituendo questi due sviluppi nella legge di Champman-Kolmorogov, si ottiene:

$\rho (x;t)+{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x;t)\tau =\int _{\mathbb {R} }\left[\rho (x;t)-{\frac {\partial }{\partial x}}\rho (x;t)y+{\frac {y^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\rho (x;t)\right]\Psi ^{(\tau )}(y)dy=$

$=\rho (x;t){\underset {=1}{\underbrace {\int _{\mathbb {R} }\Psi ^{(\tau )}(y)dy} }}-{\frac {\partial \rho (x;t)}{\partial t}}{\underset {=0}{\underbrace {\int _{\mathbb {R} }y\Psi ^{(\tau )}(y)dy} }}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{2\partial x^{2}}}\int _{\mathbb {R} }y^{2}\Psi ^{(\tau )}(y)dy=$

$=\rho (x;t)+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}{\underset {={\frac {\sigma ^{(\tau )}}{2}}}{\underbrace {\int _{\mathbb {R} }{\frac {y^{2}}{2}}\Psi ^{(\tau )}(y)dy} }}$

Detta $D={\frac {\sigma ^{(\tau )}}{2\tau }}$ si ottiene l'equazione di moto browniano:

$\rho _{t}=D\rho _{xx}$

Si definisce libero cammino medio la radice quadrata di $\sigma ^{(\tau )}$:

$\lambda ^{(\tau )}=\left(\int _{\mathbb {R} }\Psi ^{(\tau )}(y)y^{2}dy\right)^{\frac {1}{2}}=(2D\tau )^{\frac {1}{2}}$

Si nota anche che il libero cammino medio è proporzionale alla radice quadrata del tempo e non al tempo stesso: ciò ci consente di dare validità anche alla definizione di $D$ fatta sopra per ricavare l'equazione di moto browniano. Einstein, nella sua derivazione, dà anche una definizione empirica di $D$:

$D={\frac {kt}{6\pi \eta a}},\;\eta {\text{ viscosità; }}a{\text{ raggio particella}}$