Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'operatore derivata seconda

In questo modulo ci si occuperà dello studio di un operatore piuttosto comune, al cui problema agli autovalori associato sono riconducibili pressoché tutti i problemi studiati sino ad ora. L'operatore in questione è quello di derivata seconda:

${\hat {\mathcal {L}}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$

Questo operatore agisce su $f\in C^{2}((a,b))$. Il problema agli autovalori per ${\mathcal {L}}$ può essere scritto come:

${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f$

A esso, trattandosi di un'equazione differenziale, può essere associato il problema con condizioni al bordo:

${\begin{cases}{\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f\\B.C.\end{cases}}$

Definito ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,B.C.\right\rbrace$, si assume che per i problemi che verranno studiati $f\in {\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$.

Dai moduli precedenti si possono derivare alcune particolari espressioni per ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$, corrispondenti a differenti condizioni al bordo:

• condizioni al bordo di Dirichlet implicano:

  ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Dir})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f(a)=f(b)=0\right\rbrace$

• condizioni al bordo di Neumann implicano:

  ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Neu})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0\right\rbrace$

• condizioni al bordo di Robin implicano:

  ${\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}}_{Rob})=\left\lbrace f\in C^{2}((a,b)),\,f^{\prime }(a)+\alpha f(a)=0,\;f^{\prime }(b)+\alpha f(b)=0\right\rbrace$

Tutte e tre le condizioni appena scritte sono locali. È possibile anche definire una condizione al bordo molto più generale, così da includere anche quelle non locali (e.g. periodiche). Nello specifico si avrebbe:

${\begin{cases}\alpha _{1}f(a)+\beta _{1}f(b)+\gamma _{1}f^{\prime }(a)+\delta _{1}f^{\prime }(b)=0\\\alpha _{2}f(a)+\beta _{2}f(b)+\gamma _{2}f^{\prime }(a)+\delta _{2}f^{\prime }(b)=0\end{cases}}$

Questo tipo di condizioni sono estremamente generali, anche troppo per gli scopi di questo corso. Nei casi che verranno studiati si suppone di prendere condizioni al bordo simmetriche, ovvero:

$\left\lbrace f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)\right\rbrace \mid _{a}^{b}=0,\;f,g\in C^{2}((a,b))$

Come già è stato accennato se si considera ${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f,\;f\in {\mathcal {D}}({\hat {\mathcal {L}}})$, esso può essere visto, essendo il dominio uno spazio lineare e l'operatore un operatore lineare, come un problema agli autovalori. Ci si chiede se sia lecito aspettarsi, essendo ${\hat {\mathcal {L}}}$ simmetrico, che $\left\lbrace f\right\rbrace$ sia un sistema ortonormale completo per tale operatore. Per provare a dare risposta a questa domanda si inizi considerando il seguente teorema.

Sia $f\in C^{2}((a,b))$ soluzione del seguente problema al bordo:

${\begin{cases}{\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f\\f\in C^{2}((a,b))\\{\text{B.C. simmetriche}}\end{cases}}$

Allora:

1. $\lambda \in \mathbb {R}$
2. la soluzione del problema, $f$, può essere presa reale;
3. se $f_{1}$ ha per autovalore associato $\lambda _{1}$ e $f_{2}$ ha $\lambda _{2}$ allora le due funzioni sono ortogonali in $L^{2}((a,b))$, ovvero:

   $\left\langle f_{1}\mid f_{2}\right\rangle =0$

4. se $f(x)f^{\prime }(x)\mid _{a}^{b}\leq 0$, allora $\lambda \geq 0$

Dimostrazione: per ipotesi si ha che ${\hat {\mathcal {L}}}f=\lambda f$. Passando ai coniugati si ha che ${\hat {\mathcal {L}}}{\overline {f}}={\overline {\lambda }}{\overline {f}}$. Quindi è possibile scrivere:

$\left(\lambda -{\overline {\lambda }}\right)\int _{a}^{b}f{\overline {f}}dx=\int _{a}^{b}\left[\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {f}}-\left({\mathcal {L}}{\overline {f}}\right)f\right]dx=$

$=\int _{a}^{b}\left[\left(-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right){\overline {f}}+\left({\frac {d^{2}{\overline {f}}}{dx^{2}}}\right)f\right]dx={\text{per parti}}$

$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(-f^{\prime }{\overline {f}}+f{\overline {f}}^{\prime }\right)dx=\left(f{\overline {f}}^{\prime }-f^{\prime }{\overline {f}}\right)\mid _{a}^{b}=0$

Dove l'ultima uguaglianza è giustificata dalle condizioni al bordo di simmetria. Rimane così provato il primo punto del teorema.

Si consideri la rappresentazione complessa di $f$: $f=f_{R}+if_{I}$. Sia la parte reale che quella immaginaria devono soddisfare l'equazione agli autovalori:

${\begin{cases}{\mathcal {L}}f_{R}=\lambda f_{R}\\i{\mathcal {L}}f_{I}=\lambda if_{I}\Rightarrow {\mathcal {L}}f_{I}=\lambda f_{I}\end{cases}}$

Da cui segue che $f$ può essere presa reale, provando così anche il secondo punto del teorema.

Si considerino $f_{1},f_{2}$, entrambe autofunzioni di ${\mathcal {L}}$ con autovalori distinti $\lambda _{1},\lambda _{2}$; si può scrivere:

$\left(\lambda _{1}-\lambda _{2}\right)\int _{a}^{b}f_{1}f_{2}dx=0$

Essendo $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$, deve necessariamente essere:

$\int _{a}^{b}f_{1}f_{2}dx=0=\left\langle f_{1}\mid f_{2}\right\rangle =0$

Provando così anche il terzo punto del teorema.

Per ora non dimostriamo il quarto punto del teorema per soffermarci su alcune importanti osservazioni. Innanzitutto si noti che la dimostrazione si basa su un'importante relazione, detta identità di Lagrange:

$\int _{a}^{b}\left[\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {g}}-\left({\mathcal {L}}g\right){\overline {f}}\right]dx=\left(f^{\prime }{\overline {g}}-{\overline {g}}^{\prime }f\right)\mid _{a}^{b}$

Si noti anche che quando il secondo membro dell'identità di Lagrange è nullo, e nel caso delle condizioni al bordo simmetriche questo si verifica, si ha che essa è equivalente alla definizione di operatore simmetrico, infatti si avrebbe:

$\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}f\right){\overline {g}}dx=\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}g\right){\overline {f}}dx$

Se valgono le condizioni di Robin in $a$ e quelle di Dirichlet in $b$ si ha che:

$f^{\prime }(b)f(b)-f^{\prime }(a)f(a)=f^{\prime }(a)f(a){\underset {Robin}{=}}-\alpha f^{2}(a)\geq 0\Leftrightarrow -\alpha \geq 0$

Quindi:

$\lambda \int _{a}^{b}f^{2}dx=-\alpha f^{2}(a)$

Si noti anche che:

$\int _{a}^{b}\left({\mathcal {L}}f\right)gdx=\int _{a}^{b}f^{\prime \prime }gdx=\int _{a}^{b}f^{\prime }g^{\prime }dx-f^{\prime }(b)g(b)-f^{\prime }(a)g(a)\geq \left\langle f^{\prime }\mid g^{\prime }\right\rangle$

In particolare, se $f=g$ la relazione appena scritta equivale ad affermare che ${\hat {\mathcal {L}}}$ è un operatore positivo, infatti si avrebbe:

$\lambda \left\langle f\mid f\right\rangle \geq \parallel f^{\prime }\parallel ^{2}\geq 0$

Sfruttando quanto visto nell'osservazione precedente è anche possibile dimostrare l'ultima delle proprietà del teorema di cui sopra.