Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde

Nel modulo precedente abbiamo visto come è possibile sfruttare le proprietà della trasformata di Fourier per ricavare l'espressione della soluzione dell'equazione del calore. In questo modulo si sfrutteranno considerazioni analoghe per andare a determinare la soluzione dell'equazione delle onde, con problema di Cauchy associato:

${\begin{cases}u_{tt}-c^{2}\Delta u=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} ^{+}\\u(0,x)=f(x)\\u_{x}(0,x)=g(x)\end{cases}}$

In analogia con quanto visto per l'equazione del calore si potrà scrivere, passando al corrispondente problema per ${\hat {u}}(x,t)$:

${\hat {u}}(k,t)={\hat {f}}(k)\cos(x\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(x\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}$

Chiaramente la soluzione del problema di partenza si potrà trovare applicando l'inverso dell'operatore di Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$ a ${\hat {u}}$. Per poter fare questo passaggio è necessario però che ${\mathcal {F}}$, operatore di Fourier, sia ben definito e sempre invertibile. Queste condizioni sono verificate quando si lavora nello spazio di Schwarz:

$S(\mathbb {R} ^{n})=\left\lbrace \psi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\colon \partial ^{\alpha }\psi {\text{ è a decrescenza rapida }}\forall \alpha \right\rbrace$

Definizione

Si dice che una funzione $\psi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ è a decrescenza rapida se

$\mid \psi (x)\mid \leq {\frac {c}{\mid x\mid ^{p}}},\;\forall p,\mid x\mid \rightarrow +\infty$

Lo spazio di Schwarz $S(\mathbb {R} ^{n})$ è uno spazio vettoriale completo, quindi è anche di Banach. Per esso valgono le seguenti proprietà:

• se $\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$, allora $\forall \,\alpha ,\beta$ si ha che $x^{\beta }\partial ^{\alpha }\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$;
• se $\psi \in S(\mathbb {R} ^{n})$, allora ${\hat {\psi }}\in S(\mathbb {R} ^{n})$

Inoltre si ha che $S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, da cui segue che ${\mathcal {F}}:S\rightarrow S$ è biettiva ed è un'isometria. Fatta questa necessaria introduzione possiamo partire con lo studio delle soluzioni dell'equazione delle onde, con dati iniziali del corrispondente problema di Cauchy presi di classe Schwarz. Le proprietà della soluzione dell'equazione delle onde sono date dal seguente teorema.

Teorema (Espressione delle soluzioni dell'equazione delle onde)

La soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde con dati iniziali in $S(\mathbb {R} ^{n})$ ha per espressione:

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$ in $\mathbb {R}$

$u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {t}{2\pi }}\int _{\mid y\mid \leq 1}f(x+cty){\frac {1}{\sqrt {1-\mid y\mid ^{2}}}}dy\right)+{\frac {t}{2\pi }}\int _{\mid y\mid \leq 1}g(x+cty){\frac {1}{\sqrt {1-\mid y\mid ^{2}}}}dy$ in $\mathbb {R} ^{2}$

$u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}f(x+cty)d\sigma _{y}\right)+{\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}g(x+cty)d\sigma _{y}$ in ${\mathbb {R}}^{3}$

Dimostrazione

Iniziamo considerando il caso $n=1$. Applicando l'antitrasformata di Fourier a ${\hat {u}}(k,t)$ si ha che:

$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\left({\hat {f}}(k)\cos(x\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(x\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)e^{ikx}dk=$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\left({\hat {f}}(k){\frac {e^{ic\mid k\mid t}+e^{-ic\mid k\mid t}}{2}}+{\hat {g}}(k){\frac {e^{ic\mid k\mid t}-e^{-ic\mid k\mid t}}{2ic\mid k\mid }}\right)e^{ikx}dk$

che può essere riscritto come:

$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(k){\frac {e^{ik(x+ct)}+e^{ik(x-ct)}}{2}}dk+$

$+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(k){\frac {e^{ik(x+ct)}-e^{ik(x-ct)}}{2ikc}}dk=$

Vedendo ciascuno degli addendi del primo integrale come un'antitrasformata di Fourier è possibile riscrivere:

$={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g}}(k)\left[\int _{-ct}^{ct}{\frac {e^{ik(x+s)}}{2c}}ds\right]dk=$

$={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{-ct}^{ct}\int _{\mathbb {R} }{\hat {g}}(n)e^{ik(x+s)}{\frac {dn}{\sqrt {2\pi }}}ds=$ $={\frac {1}{2}}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+{\frac {1}{2c}}\int _{-ct}^{+ct}g(x+s)ds$

Non trattiamo il caso $n=2$ perché più complesso degli altri due e, soprattutto, perché si può derivare dal caso $n=3$. Nello spazio tridimensionale, dato un insieme invariante per rotazioni si ha, data una rotazione $R$, che:

$RR^{t}=\mathbb {I} ,\;RS^{2}=S^{2}$

Chiaramente $detR=1$. Se $R\in SO(3)$ si ha che

$\int _{S^{2}}\psi (Ry)d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}\psi (y)d\sigma _{y}$

Come per il caso monodimensionale, si vuole ricavare $u(x,t)$ come antitrasformata di Fourier di ${\hat {u}}(k,t)$, ovvero:

$u(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left({\hat {f}}(k)\cos(c\mid k\mid t)+{\hat {g}}(k){\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)e^{i{\underline {k}}{\underline {x}}}d^{2}{\underline {k}}$

Si osserva che $\cos(c\mid k\mid t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}\right)$: quindi è possibile valutare solo il secondo dei due integrali che definiscono $u(x,t)$ e ottenere l'espressione del primo derivando rispetto a $t$. Per valutare il secondo integrale si sfrutta la seguente identità:

$\int _{S^{2}}e^{ictyk}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ict{\underline {y}}{\underline {k}}}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ict(R^{t}{\underline {y}}{\underline {k}})}d\sigma _{y}=$

$=\int _{S^{2}}e^{ict(yRk)}d\sigma _{y}=\int _{S^{2}}e^{ic\mid k\mid t({\underline {y}}(0,0,1))}d\sigma _{y}=$

Passando in coordinate sferiche

$=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }e^{ic\mid k\mid t\cos \theta }\sin \theta d\theta d\phi ={\frac {4\pi }{t}}{\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}$

Dunque:

${\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {g}}(k){\frac {\sin(c\mid k\mid t)}{c\mid k\mid }}e^{ikx}dk=$

Sfruttando l'identità scritta sopra:

$={\frac {t}{4\pi }}{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\int _{S^{2}}e^{ict{\underline {y}}{\underline {k}}}d\sigma _{y}e^{ikx}dk=$

$={\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {g}}(k)e^{ik(x+cty)}d^{3}k\right)d\sigma _{y}=$

Si riconosce nell'integrale in ${\mathbb {R}}^{3}$ la trasformata di Fourier di $g(x+cty)$, quindi:

$={\frac {t}{4\pi }}\int _{S^{2}}g(x+cty)d\sigma _{y}$

Derivando rispetto a $t$ si ottiene la soluzione dell'equazione delle onde in ${\mathbb {R}}^{3}$, anche detta formula delle medie sferiche di Kirchhoff. La soluzione dell'equazione delle onde in $n=2$ si ricava usando il metodo della discesa di Hadamard, in cui si usa la soluzione $u(t,x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ e semplificando si ottiene l'espressione di $u(x,t)$ per $\mathbb {R} ^{2}$

Un'importante conseguenza del teorema appena ricavato è la seguente: un'onda, quindi un segnale, tridimensionale si propaga sul cono dato dall'unione delle sfere di centro $x$ e raggio (variabile) $t$; più precisamente essa si propaga sulla superficie di questo cono, in modo sharp. Più delicata è l'interpretazione fisica di quello che avviene per onde in $\mathbb {R} ^{2}$: analiticamente $u(x,t)$ presenta una discontinuità in $y=\pm 1$; a livello fisico ciò si traduce nel fatto che la propagazione non sarà più sharp, ma avverrà anche all'interno del cono dato dall'inviluppo delle sfere di centro $x$ e raggi $t$, su dischi. In realtà si può dimostrare che questo fatto è ben più generico: ogni propagazione di segnale in spazi di dimensioni pari avverrà in modo discontinuo, mentre avverrà in modo continuo in spazi di dimensione dispari. Questa proprietà si traduce nel dire che l'equazione delle onde propaga le singolarità.