Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche

Nel modulo precedente abbiamo accennato al fatto che le funzioni armoniche sono soluzioni dell'equazione di Laplace e ne è stata data una prima caratterizzazione. Qui, e nei prossimi moduli ci si occuperà di definire in modo più preciso alcune proprietà fondamentali di questa classe di funzioni.

Definizione

Sia $B(x_{0},r)$ la palla di centro $x_{0}$ e raggio $r$ in ${\mathbb {R}}^{n}$ e sia $S(x_{0},r)=\partial B(x_{0},r)$. Si definiscono:

• $\alpha (n)$ la misura della palla di raggio 1 in $\mathbb {R} ^{n}$.
• $\omega (n)=\omega _{n}$ la misura del bordo della palla di raggio 1 in ${\mathbb {R}}^{n}$.

Si ha che:

$\omega _{n}=n\alpha (n)$

Definizione

Sia $u:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,\;u\in C^{0}(\Omega )$. Si definiscono le seguenti quantità:

• media sulla palla $B(x_{0},r)\subset \Omega$:

  $\oint _{B(x_{0},r)}u(y)dy={\frac {1}{\mid B(x_{0},r)\mid }}\int _{B(x_{0},r)}u(y)dy={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u(y)dy$

• media sulla sfera $\partial B(x_{0},r)$:

  $\oint _{\partial B(x_{0},r)}u(y)d\sigma (y)={\frac {1}{\mid S(x_{0},r)\mid }}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)d\sigma (y)={\frac {1}{\omega (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)d\sigma (y)$