Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche

Nel modulo precedente abbiamo accennato al fatto che le funzioni armoniche sono soluzioni dell'equazione di Laplace e ne è stata data una prima caratterizzazione. Qui, e nei prossimi moduli ci si occuperà di definire in modo più preciso alcune proprietà fondamentali di questa classe di funzioni.

Definizione

Sia $B(x_0,r)$ la palla di centro $x_0$ e raggio $r$ in ${ℝ}^n$ e sia $S(x_0,r)=\partial B(x_0,r)$. Si definiscono:

• $\alpha (n)$ la misura della palla di raggio 1 in ${ℝ}^n$.
• $\omega (n)={\omega }_n$ la misura del bordo della palla di raggio 1 in ${ℝ}^n$.

Si ha che:

${\omega }_n=n\alpha (n)$

Definizione

Sia $u:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n\to ℝ,u\in C^0(\mathrm{\Omega })$. Si definiscono le seguenti quantità:

• media sulla palla $B(x_0,r)\subset \mathrm{\Omega }$:

  ${\oint }_{B(x_0,r)}u(y)dy=\frac{1}{\mid B(x_0,r)\mid }{\int }_{B(x_0,r)}u(y)dy=\frac{1}{\alpha (n)r^n}{\int }_{B(x_0,r)}u(y)dy$

• media sulla sfera $\partial B(x_0,r)$:

  ${\oint }_{\partial B(x_0,r)}u(y)d\sigma (y)=\frac{1}{\mid S(x_0,r)\mid }{\int }_{\partial B(x_0,r)}u(y)d\sigma (y)=\frac{1}{\omega (n)r^{n-1}}{\int }_{\partial B(x_0,r)}u(y)d\sigma (y)$