Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'inversione temporale

Nella derivazione dell'equazione del calore si è sottolineato come il modus operandi che si è adottato fosse totalmente differente da quello adottato per ricavare l'equazione delle onde. In questo modulo si osserva una seconda differenza, ancor più profonda, tra queste due equazioni.

Siano:

${\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,{\text{ equazione delle onde}}\\u_{t}-\Delta u=0,{\text{ equazione del calore}}\end{cases}}$

Si consideri la funzione $v(x;t)=u(x;-t)$, ovvero la funzione che si ottiene dall'azione dell'operatore di inversione temporale su $u(x;t)$. Si supponga inoltre che $u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione delle onde, piuttosto che di quella del calore. Andiamo a studiare che cosa si può dire per $v(x;t)$.

Si supponga come primo caso che $u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione delle onde. Ci si chiede se pure $v(x;t)$ lo sia, ovvero se:

$v_{tt}-\Delta v=0$

L'azione dell'operatore laplaciano sarà la stessa sia su $v(x;t)$ che su $u(x;t)$ dal momento che nella parte spaziale le due funzioni coincidono. Inoltre:

$v_{t}={\frac {\partial }{\partial t}}(u(x;-t))=-u_{t}\Rightarrow v_{tt}=\partial _{t}v_{t}=u_{tt}$

Si può dunque concludere che l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale.

Come secondo caso si supponga che $u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione del calore. Per $v(x;t)$ ora si ha un comportamento differente. Pur continuando a valere $\Delta u=\Delta v$, ora si ha una sola derivata parziale rispetto alla variabile $t$. Ciò significa che se $u(x;t)$ risolve l'equazione del calore, per la sua inversione temporale, ovvero $v(x;t)$, si avrà che:

$v_{t}-\Delta v=-u_{t}-\Delta u\neq 0$

Si può dunque concludere che l'equazione del calore non è invariante per inversione temporale.

La conclusione di questo modulo è ora piuttosto evidente: mentre l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale e dunque descrive un processo reversibile, quella del calore non lo è, pertanto si è portati a concludere che essa descriva un processo irreversibile. È bene chiedersi dove si sia introdotta, a livello deduttivo, questa irreversibilità. La risposta va cercata in due assunzioni fatte, ovvero:

• si è assunto che $J$ fosse assimilabile alla concentrazione;
• si è assunta valida la legge di Newton-Fourier.

In definitiva si osserva anche che il modello deduttivo che viene seguito nel derivare un'equazione (differenziale alle derivate parziali) che descriva un fenomeno fisico ne influenza pesantemente le proprietà.