Equazioni differenziali alle derivate parziali/Scopo del corso

Lo scopo del corso è quello di dare una panoramica introduttiva alla risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Probabilmente lo studente già saprà affrontare la risoluzione delle equazioni differenziali.

Si consideri ad esempio l'equazione differenziale (seconda legge di Newton):

$m{\ddot {x}}=F(x)$

Con $x:I\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, o anche $x:I\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{3}$. A questa equazione può essere associato il problema di Cauchy:

${\begin{cases}{\underline {\dot {x}}}(t_{0})={\underline {v}}_{0}\\{\underline {x}}(t_{0})={\underline {x}}_{0}\end{cases}}$

L'esistenza della soluzione è garantita dalla continuità di $F$, mentre l'unicità è garantita dalla sua lipshitzianità; ovvero è necessario che:

$\forall x_{1},x_{2}\in {\mathcal {D}}(F),\;\mid F(x_{1})-F(x_{2})\leq L\mid x_{1}-x_{2}\mid$

Dunque, quando le due condizioni appena enunciate sono verificate, si avrà che:

$\exists !\,t\mapsto x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;t\in {\mathcal {U}}(t_{0}),\;x(t)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n})$

Dunque la risoluzione di un problema di Cauchy dà una soluzione che è una funzione, univocamente definita. Generalmente un'equazione alle derivate parziali dipende da più variabili, ovvero le derivate parziali della funzione incognita. Ad esempio si potrà avere:

$F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,\;F=F(u,u_{x},u_{t})=0$

Spesso indicheremo le derivate parziali utilizzando un pedice per indicare rispetto a quale variabile viene compiuta la derivazione. Pertanto le tre seguenti notazioni sono equivalenti:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\partial _{t}u=u_{t}$

La principale differenza tra le equazioni differenziali ordinarie e quelle alle derivate parziali è che nel secondo caso non solo si hanno infinite soluzioni, ma si ha un'intera classe di soluzioni che dipende da una funzione. Questo aspetto può essere illustrato meglio grazie al seguente esempio.

Si consideri l'equazione differenziale alle derivate parziali:

$u_{t}+cu_{x}=0,\;c\in \mathbb {R}$

L'incognita $u$ non compare esplicitamente: un caso di questo tipo è detto degenere. È piuttosto banale risolvere questa equazione e trovare che la sua soluzione è:

$u(x,t)=ct-x$

In realtà si osserva che essa non è l'unica soluzione, ma che ogni qualsiasi funzione della forma

$u(x,t)=f(ct-x),\;f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;\forall f\in C^{1}$

risolve l'equazione di partenza.

Così come per le equazioni differenziali ordinarie, anche per quelle alle derivate parziali è possibile definire l'ordine dell'equazione:

Definizione

Si definisce ordine di un'equazione la derivata di ordine massimo che compare nell'equazione stessa.

In questo corso ci si occuperà prevalentemente di tre equazioni differenziali alle derivate parziali, tutte del secondo ordine.

Definizione

Si definisce equazione delle onde l'equazione degenere:

$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0$

Nel caso n-dimensionale, la derivata seconda rispetto alla variabile $x$ verrà sostituita dall'operatore laplaciano:

$\nabla ^{2}=\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

Dunque in dimensioni superiori a $n=2$ l'equazione delle onde sarà:

$u_{tt}-c^{2}\Delta u=0$

Definizione

Si definisce equazione del calore o della diffusione:

$u_{t}-D\Delta u=0$

Definizione

Si definisce equazione di Laplace l'equazione stazionaria (così detta in virtù della sua indipendenza da $u_{t}$:

$\Delta u=0$

Si tenga conto anche della seguente osservazione: tutte e tre le equazioni che saranno oggetto di studio sono equazioni lineari. Questo significa che la combinazione lineare di soluzioni è ancora una soluzione.

Concludiamo osservando che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale alle derivate parziali è sempre uno spazio vettoriale. Generalmente saremo interessati a capire se tale insieme possa essere caratterizzato maggiormente e possa, ad esempio, essere strutturato a spazio di Banach oppure di Hilbert.