Equazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni

Torniamo al problema da cui siamo partiti:

${\begin{cases}{\mathcal {L}}u=-\left(pu^{\prime }\right)^{\prime }+qu\\B.C.\end{cases}},\;p\in C^{1}((0,L)),\,p(x)>0\,\forall \,x\in [0,L],\;q\in C^{0}([0,L])$

Abbiamo osservato come questo problema si possa risolvere nella forma più generale ${\mathcal {L}}u=f\in L^{2}([0,L])\cap C^{0}([0,L])$. In quest'ottica diventa un'equazione differenziale ordinaria, che può essere risolta tramite l'inversione dell'operatore ${\mathcal {L}}$. Ovvero, supponendo che $\lambda =0$ non sia autovalore di ${\mathcal {L}}$, si giunge a:

$u={\mathcal {L}}^{-1}f$

Avendo risolto esplicitamente questo problema, si è in grado di concludere che:

${\mathcal {L}}^{-1}f=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)f(y)dy$

Con ${\mathcal {G}}$ funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville, data da:

${\mathcal {G}}(xy)=-{\frac {1}{pW}}{\begin{cases}v_{1}(x)v_{2}(y),\;0<x<y\leq L\\v_{1}(y)v_{2}(x),\;0<y<x\leq L\end{cases}}$

Si è anche osservato che ${\mathcal {G}}$ è una funzione continua, differenziabile su $[0,L]\times [0,L]$ ma non sulla diagonale $x=y$ e simmetrica. Come operatore ${\mathcal {G}}$ pertanto è simmetrico e compatto e, in virtù dell'ipotesi preliminare, non ammette autovalore nullo. Si è anche osservato che se ${\mathcal {L}}^{-1}$ è simmetrico e compatto, ammette un sistema ortonormale completo. Da ciò segue che anche ${\mathcal {L}}$ ammette autovalori: essi saranno corrispondenti ai reciproci degli autovalori di ${\mathcal {L}}^{-1}={\mathcal {G}}$ con stessi autovettori. Questi autovettori, per altro comuni, dunque costituiranno un sistema ortonormale completo sullo spazio di Hilbert su cui si lavora.

Completiamo il discorso sull'operatore di Sturm-Liouville andando ad analizzare il caso, scartato per ipotesi, in cui $\lambda =0$. Innanzitutto si osserva che ${\mathcal {L}}$ è limitato dal basso, e dunque che:

$\left\langle {\mathcal {L}}u\mid u\right\rangle \geq q_{min}$

Si ha che tutti gli autovalori di ${\mathcal {L}}$ saranno maggiori, o al più uguali, a questo valore $q_{min}$:

$\left\langle \lambda u\mid u\right\rangle =\lambda \left\langle u\mid u\right\rangle \geq q_{min}$

Segue quindi che esisterà sicuramente un numero reale $\mu _{0}$ che non sarà autovalore di ${\mathcal {L}}$. Definendo l'operatore ${\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}-\mu _{0}\mathbb {I}$ si ha che esso conserva tutte le proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville, ma non ammetterà mai autovalore nullo. Possiamo quindi applicare tutta la teoria sviluppata per ${\mathcal {L}}$ a ${\mathcal {L}}_{1}$ trattandolo come una traslazione di ${\mathcal {L}}$. Tutti i risultati sino ad ora ottenuti continuano a essere applicabili, col vantaggio che ${\mathcal {L}}_{1}$ non può ammettere autovalore nullo: quindi viene risolto anche il problema iniziale per cui era necessario supporre $\lambda _{\mathcal {L}}\neq 0$. In definitiva, non avendo nemmeno problemi per l'autovalore nullo, è possibile concludere che l'operatore di Sturm-Liouville ammette sempre sistema ortonormale completo costituito dai suoi autovalori.