Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante

Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:

${\begin{cases}u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x;0)=u(x)\\u_{t}(x;0)=u_{t}(x)\\u(0;t)=u(L;t)=0\end{cases}}$

È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:

$u(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}(x)$

Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:

$E=E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x;t)+v^{2}u_{x}^{2}(x;t)\right]dx$

Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importante proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:

$E(t)=E(0)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x)+v^{2}u_{x}^{2}(x)\right]dx$

Per scrivere esplicitamente $E$ in funzione dell'espressione di $u(x;t)$ scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente $u_{t}$ e $u_{x}$.

Per $u_{t}$ si ha che:

$u_{t}=u_{t}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x)$

Per $u_{x}$ si ha che $u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}^{\prime }(x)$. Essendo $s_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)$ si ha:

$s^{\prime }(x)=k_{n}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)=k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$

Da cui segue che $u_{x}(x;t)$ può essere scritta come:

$u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$

È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:

$u_{t}^{2}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x){\dot {q}}_{m}(t)s_{m}(t)$

Integrando tra 0 e $L$ si ottiene:

$\int _{0}^{L}u_{t}^{2}(x;t)dx=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t){\dot {q}}_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}s_{n}(x)s_{m}(x)dx} }}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}^{2}(t)$

Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:

$\int _{0}^{L}v^{2}u_{x}^{2}(x;t)dx=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }q_{n}(t)q_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}k_{n}k_{m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}{\tilde {s}}_{n}(x){\tilde {s}}_{m}(x)k_{n}k_{m}dx} }}=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}^{2}(t)k_{n}^{2}$

In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:

$E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left(u_{t}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}\right)dx={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\dot {q}}^{2}+{\underset {\omega _{n}^{2}}{\underbrace {v^{2}k_{n}^{2}} }}q_{n}^{2}\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}{\dot {q}}_{n}^{2}+{\frac {1}{2}}\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)$

Si è arrivati a un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata a un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere $u(x;t)=\sum q_{n}(t)s_{n}(x)$, permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.