Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco

Iniziamo con lo studio di un esempio.

Vogliamo risolvere l'equazione delle onde sul disco circolare di raggio $a$, con condizioni al contorno di Dirichlet. Questo esempio modellizza il tamburo. Dunque abbiamo:

${\begin{cases}\partial _{tt}u-c^{2}\Delta u=0\\u(0,x,y)=\phi (x,y),\;\partial _{t}u(0,x,y)=\phi (x,y)\\u(t,x,y)\vert _{\partial \Omega }=0,\;\Omega =\left\lbrace x^{2}+y^{2}<a^{2}\right\rbrace \end{cases}}$

Il corrispondente problema agli autovalori per il laplaciano sul disco, con condizioni al bordo di Dirichlet, sarà:

${\begin{cases}-\Delta v=\lambda v,\;{\text{su}}\Omega \\v\vert _{\partial \Omega }=0\end{cases}}$

Separando le variabili avremo che:

$u(x,t)=T(t)v(x,y)$

$u(t,x)=\left(A\cos({\sqrt {\lambda }}t)+B\sin({\sqrt {\lambda }}t)\right)v_{\lambda }(x,y)$

Studiamo quindi autovalori e autovettori sul disco. Per simmetria di $\Omega$, scriviamo $\Delta$ in coordinate polari. Questo ci porterà a dover effettuare la sostituzione $v(x,y)\mapsto v(r,\theta )$ e ad avere $\Delta v=\left(\partial _{rr}^{2}+{\frac {1}{r}}\partial _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{\theta \theta }^{2}\right)v(r,\theta )$. Anche nelle variabili angolari è possibile separare le variabili, così da poter scrivere: $v(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$. La corrispondente equazione agli autovalori diventa:

$-\left[\partial _{rr}^{2}+{\frac {1}{r}}\partial _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{\theta \theta }^{2}\right]R(r)\Theta (\theta )=\lambda R(r)\Theta (\theta )$

Che può essere riscritta nella forma:

${\frac {\partial _{\theta \theta }^{2}\Theta (\theta )}{\Theta (\theta )}}=-r^{2}\left(\lambda +{\frac {\partial _{rr}^{2}R(r)+{\frac {1}{r}}\partial _{r}R(r)}{R(r)}}\right)=-\gamma$

Dove l'ultima uguaglianza deriva dalla necessità di dover avere entrambi i termini dell'equazione uguali a una costante, essendo dipendenti da variabili separate. L'equazione in $\theta$ ci porta a: ${\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\Theta +\gamma \Theta =0$. Stiamo cercando soluzioni periodiche di periodo $2\pi$, dunque ci aspettiamo tre casi:

$\gamma {\begin{cases}<0,\;{\text{la soluzione è non periodica}}\\>0\\=0,\;{\text{la soluzione è lineare}}\end{cases}}$

In definitiva:

$\Theta (\theta )=A\cos({\sqrt {\gamma }}\theta )+B\sin({\sqrt {\gamma }}\theta )$

Che ha periodo di $2\pi$ se e solo se $\gamma =n^{2},\;n=0,1,2,\dots$. L'equazione in $r$ ci porta a: ${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}R(r)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}R(r)+\left(\lambda -{\frac {n^{2}}{r^{2}}}\right)R(r)=0$ per $0<r<a$. Le soluzioni di questa equazione differenziale devono soddisfare due importanti proprietà: occorre che $\lim _{r\rightarrow 0}R(r)<+\infty$ e che sia soddisfatta la condizione al bordo $R(a)=0$. Dobbiamo aggiungere questa condizione perché le soluzioni del laplaciano è regolare, di classe $C^{2}$ dunque non divergeranno mai nell'origine. La singolarità deriva da una singolarità "fittizia" data dal passaggio in polari, tuttavia era già contenuta implicitamente nel problema di partenza. Di $\lambda$ sappiamo che è positivo, perché autovalore di $\Delta _{D}$, quindi facciamo un cambio di coordinate tale per cui $r\mapsto {\sqrt {\lambda }}r=\rho$. Tramite questo riscalamento di variabili otteniamo una nuova equazione per $R(r)$:

$R^{\prime \prime }+{\frac {1}{\rho }}R^{\prime }+\left(1-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R=0,\;R=R(\rho )$

Le soluzioni di questa equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti non costanti hanno una forma particolare, essendo dei reciproci di monomi. Mi aspetterei dunque di trovare delle soluzioni proporzionali a monomi o a potenze, tuttavia non è possibile farlo in questo caso. Cerchiamo dunque soluzioni per serie, della forma:

$R(\rho )=\rho ^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}\rho ^{k}$

Dove i valori di $\alpha$ e $a_{k}$ vanno determinati. Presa $R(\rho )$ in questa forma e sostituita nell'equazione differenziale di cui sopra si ottiene:

$\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}(k+\alpha )(k+\alpha -1)\rho ^{k+\alpha -2}+a_{k}(k+\alpha )\rho ^{k+\alpha -2}+a_{k}\rho ^{k+\alpha }-n^{2}a_{k}\rho ^{k+\alpha -2}=$

$=\rho ^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}\left[(k+\alpha )^{2}-n^{2}\right]\rho ^{k-2}+\rho ^{2}\sum _{k=2}^{+\infty }a_{k-2}\rho ^{k-2}{\overset {!}{=}}0$

Dove impongo che i coefficienti dello stesso grado siano nulli, per poter ottenere una soluzione nulla. Si ha che se $k=0$, $a_{0}(\alpha ^{2}-n^{2})=0$: ma, per ipotesi, $a_{0}\neq 0$; dunque $\alpha =\pm n$, ma non potendo divergere in zero la soluzione, deve necessariamente essere $\alpha =n$. Le altre due relazioni che si ottengono sono:

$k=1,\;a_{1}\left[(1+\alpha )^{2}-n^{2}\right]=0$

$k\geq 2,\;a_{k}\left[(k+\alpha )^{2}-n^{2}\right]+a_{k-2}=0$

Dalla 2, si ottiene $a_{1}=0$; mentre dalla 3 si ottiene a $a_{k}={\frac {a_{k-2}}{(k+n)^{2}-n^{2}}}$, $a_{0}={\frac {1}{2^{n}n!}}$. In definitiva si ha che, l'unica soluzione regolare dell'equazione di Bessel $R^{\prime \prime }+{\frac {1}{\rho }}R^{\prime }+\left(1-{\frac {n^{2}}{\rho ^{2}}}\right)R=0$ è data da

$J_{n}(\rho )=\sum _{j=0}^{+\infty }(-1)^{j}{\frac {({\frac {\rho }{2}})^{n+2j}}{j!(n+j)!}}$

Per cui si ha che se $\rho \gg 1$, $J_{n}(\rho )\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\cos \left(\rho -{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)+{\mathcal {O}}(\rho ^{-3/2})$ che è una funzione oscillante; per $n$ fissato, all'infinito oscilla ancora e quindi è una soluzione con infiniti zeri. Tornando al problema originario del laplaciano sul disco, abbiamo ora la possibilità di affermare che:

$v(r,\theta )=J_{n}({\sqrt {\lambda }}r)\left(A_{n}\cos(n\theta )+B_{n}\sin(n\theta )\right),\;\forall n=0,1,\dots$

Tuttavia il valore di $\lambda$ è ancora impregiudicato: sappiamo soltanto che deve essere un autovalore. Per determinarlo imponiamo la condizione al bordo, ovvero richiediamo che $v(a,\theta ){\overset {!}{=}}0=J_{n}({\sqrt {\lambda }}a)\left(A_{n}\cos(n\theta )+B_{n}\sin(n\theta )\right)$. Dunque ho che i valori di $\lambda$ ammissibili sono tutti quei $\lambda _{n}$ tali che $J_{n}({\sqrt {\lambda _{n}}}a)=0$. La soluzione generale dell'equazione delle onde pertanto sarà data da:

$u(t,r,\theta )=\sum _{m=1}^{+\infty }J_{0}({\sqrt {\lambda _{n}}}r)\left(C_{0m}\cos({\sqrt {\lambda _{0m}}}t)+D_{0m}\sin({\sqrt {\lambda _{0m}}}t)\right)+$

$+\sum _{m,n=1}^{+\infty }J_{n}({\sqrt {\lambda _{nm}}}r)\left(A_{nm}\cos(n\theta )+B_{nm}\sin(n\theta )\right)\left(C_{nm}\cos({\sqrt {\lambda _{nm}t}})+D_{nm}\sin({\sqrt {\lambda _{nm}t}})\right)$