Iniziamo con lo studio di un esempio.
Vogliamo risolvere l'equazione delle onde sul disco circolare di raggio
, con condizioni al contorno di Dirichlet. Questo esempio modellizza il tamburo. Dunque abbiamo:
Il corrispondente problema agli autovalori per il laplaciano sul disco, con condizioni al bordo di Dirichlet, sarà:
Separando le variabili avremo che:
Studiamo quindi autovalori e autovettori sul disco. Per simmetria di
, scriviamo
in coordinate polari. Questo ci porterà a dover effettuare la sostituzione
e ad avere
. Anche nelle variabili angolari è possibile separare le variabili, così da poter scrivere:
. La corrispondente equazione agli autovalori diventa:
Che può essere riscritta nella forma:
Dove l'ultima uguaglianza deriva dalla necessità di dover avere entrambi i termini dell'equazione uguali a una costante, essendo dipendenti da variabili separate. L'equazione in
ci porta a:
. Stiamo cercando soluzioni periodiche di periodo
, dunque ci aspettiamo tre casi:
In definitiva:
Che ha periodo di
se e solo se
. L'equazione in
ci porta a:
per
. Le soluzioni di questa equazione differenziale devono soddisfare due importanti proprietà: occorre che
e che sia soddisfatta la condizione al bordo
. Dobbiamo aggiungere questa condizione perché le soluzioni del laplaciano è regolare, di classe
dunque non divergeranno mai nell'origine. La singolarità deriva da una singolarità "fittizia" data dal passaggio in polari, tuttavia era già contenuta implicitamente nel problema di partenza. Di
sappiamo che è positivo, perché autovalore di
, quindi facciamo un cambio di coordinate tale per cui
. Tramite questo riscalamento di variabili otteniamo una nuova equazione per
:
Le soluzioni di questa equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti non costanti hanno una forma particolare, essendo dei reciproci di monomi. Mi aspetterei dunque di trovare delle soluzioni proporzionali a monomi o a potenze, tuttavia non è possibile farlo in questo caso. Cerchiamo dunque soluzioni per serie, della forma:
Dove i valori di
e
vanno determinati. Presa
in questa forma e sostituita nell'equazione differenziale di cui sopra si ottiene:
Dove impongo che i coefficienti dello stesso grado siano nulli, per poter ottenere una soluzione nulla. Si ha che se
,
: ma, per ipotesi,
; dunque
, ma non potendo divergere in zero la soluzione, deve necessariamente essere
. Le altre due relazioni che si ottengono sono:
Dalla 2, si ottiene
; mentre dalla 3 si ottiene a
,
. In definitiva si ha che, l'unica soluzione regolare dell'equazione di Bessel
è data da
Per cui si ha che se
,
che è una funzione oscillante; per
fissato, all'infinito oscilla ancora e quindi è una soluzione con infiniti zeri. Tornando al problema originario del laplaciano sul disco, abbiamo ora la possibilità di affermare che:
Tuttavia il valore di
è ancora impregiudicato: sappiamo soltanto che deve essere un autovalore. Per determinarlo imponiamo la condizione al bordo, ovvero richiediamo che
. Dunque ho che i valori di
ammissibili sono tutti quei
tali che
. La soluzione generale dell'equazione delle onde pertanto sarà data da: