Equazioni differenziali alle derivate parziali/Regolarità delle funzioni armoniche

Affrontiamo ora le proprietà di regolarità delle funzioni armoniche. Prima di tutto però analizziamo le proprietà di una particolare funzione che ci sarà utile nelle dimostrazioni.

Il mollificatore

Consideriamo la funzione su ${\mathbb {R}}^{n}$:

$\eta (x)={\begin{cases}\displaystyle Ce^{-1/{1-|x|^{2}}}&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}$

$C$ è una variabile di normalizzazione tale che $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\eta (x)dx=1$ Questa funzione ha diverse proprietà:

• per $|x|\rightarrow 1$, $|x|<1$, $\eta (x)\rightarrow 0$
• qualunque derivata di $\eta (x)$ tende a 0 per $|x|\rightarrow 1^{-}$
• $\eta (x)\in C_{n}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

Generalizziamo la funzione scalandola e traslandola:

$\eta (x)_{\epsilon ,y}={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\eta \left({\frac {(x-y)}{\epsilon }}\right)$

il supporto ora ha raggio $\epsilon$ ed è centrata in $y$.

Teorema (Regolarità delle funzioni armoniche)

Sia $\Omega$ aperto limitato di ${\mathbb {R}}^{n}$ e $u\in C^{0}(\Omega )$ che soddisfi la proprietà della media

$u(x)=\oint _{\partial B(x,r)}u(y)d\sigma (y)\quad \forall B(x,r)\subset \Omega$

Allora $u\in C^{\infty }(\Omega )$

Dimostrazione

Consideriamo $\epsilon$ tale che $0<\epsilon <dist(x,\partial \Omega )$. Eseguiamo la convoluzione di $u$ con $\eta$, cioè:

$u*\eta _{\epsilon }=\int _{\Omega }u(y)\eta _{\epsilon }(x-y)dy=u_{\epsilon }(x)$

Dimostriamo che:

• $u_{\epsilon }\in C^{\infty }(\Omega )$
• $u_{\epsilon }=u(x)\;\forall x\in \Omega$

Prendiamo $u_{\epsilon }=\int _{\Omega }\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy$, possiamo passare la derivata rispetto a $x$ sotto l'integrale perché $x$ è in $\eta$ che è a supporto compatto.

${\frac {\partial {u_{\epsilon }(x)}}{\partial {x}}}=\int _{\Omega }{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy$

Essendo $\eta _{\epsilon }$ una funzione $C^{\infty }(\Omega )$, $u_{\epsilon }$ è analitica.

Ora calcoliamo $u_{\epsilon }$ restingendoci al support di $\eta _{\epsilon }$ che è

${\mathcal {D}}\left(\eta _{\epsilon }(x-y)\right)=\{y|\;|x-y|\leq \epsilon \}=B(x,\epsilon )$

${\begin{aligned}u_{\epsilon }(x)&=\int _{B(x,\epsilon )}\eta _{\epsilon }(x-y)u(y)dy\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {|x-y|}{\epsilon }}\right)u(y)dy\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\left(\int _{\partial B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {|x-y|}{\epsilon }}\right)u(y)d\sigma (y)\right)dr\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\left(\int _{\partial B(x,\epsilon )}u(y)d\sigma (y)\right)dr\\&={\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\omega (n)r^{n-1}{\underset {=u(x)}{\underbrace {\left(\oint _{\partial B(x,\epsilon )}u(y)d\sigma (y)\right)} }}dr\end{aligned}}$

Otteniamo quindi da un lato $u(x)$ e dall'altro la misura della superficie sperica di raggio $\epsilon$. Possiamo quindi ricomporre l'integrale sulla sfera.

${\begin{aligned}&=u(x){\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{0}^{\epsilon }\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)\int _{\partial B(x,\epsilon )}1\cdot d\sigma \\&=u(x){\underset {=1}{\underbrace {\left[{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B(x,\epsilon )}\eta \left({\frac {r}{\epsilon }}\right)dr\right]} }}\rightarrow u(x)\end{aligned}}$

Nell'ultimo integrale abbiamo utilizzato la normalizzazione del mollificatore.

Quindi abbiamo dimostrato che $u_{\epsilon }=u(x)$ e $u\in C^{\infty }$.

Osservazione: se consideriamo $u\in C^{2}$ che rispetta la proprietà della media allora $u$ è armonica (vedi Inverso della proprietà della media). L'ultimo teorema dimostra che le funzioni armoniche sono anche analitiche.