Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine nel semipiano

Si è dimostrato che una funzione $u(x)$ modulo integrabile di classe $C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ può essere scritta, grazie alla formula di rappresentazione, conoscendo i valori che essa assume al bordo di $\Omega$ e il valore di $\Delta u$. Per poter scrivere in modo completo la formula di rappresentazione, come si è visto, è necessario anche conoscere la funzione di Green del problema che si sta studiando. Si è osservato che la funzione di Green è simmetrica ed esiste sempre: l'eventuale difficoltà starà nella sua determinazione. In questo e nei prossimi moduli ci si occuperà di usare la formula di rappresentazione, e dunque di determinare la funzione di Green, per risolvere dei problemi al bordo particolari.

Iniziamo con l'esempio della determinazione della funzione di Green nel semipiano positivo di $\mathbb {R} ^{2}$: questo problema è anche noto con il nome di metodo delle cariche immagine.

Sia $\Omega =\left\lbrace x_{2}>0\right\rbrace$. Consideriamo il problema:

${\begin{cases}-\Delta u=f\\u\mid _{\partial \Omega }=g\end{cases}}$

Dalla formula di rappresentazione si ha che:

$u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial {\hat {n}}}}d\sigma (y)+\int _{\Omega }G(x,y)f(y)dy$

Nello specifico del problema studiato essa equivale a:

$u(x,y)=-\int _{y=0}g(s)G_{\hat {n}}(x,y)ds+\int _{\mathbb {R} \times \mathbb {R} }G(x,y)f(y)dy$

Ci si chiede ora chi sia, e che espressione abbia, la funzione $G(x,y)$. Se esiste, essa deve avere la forma $G(x,y)=\Phi (x-y)-h(y)$. Stiamo quindi cercando $G(x,y)$ tale che:

$G(x,0)=0\,\forall \,x\in \mathbb {R} ,\;G\sim \Phi {\text{ in }}{\mathcal {U}}(x\in \Omega ),\;\Delta G=0\,\forall \,x\neq y$

Nel piano si ha che $\Phi ={\frac {1}{2\pi }}\log \mid x\mid$ e si vuole trovare $h(y)$ tale che annulli $\Phi$ su $(x,y=0),\;\forall \,x\in \mathbb {R}$. Si osserva che prendendo $h(y)$ della forma $h(y)=\Phi (x^{\star }-y)$ con $x^{\star }=\left\lbrace x_{2}<0\right\rbrace =\mathbb {R} _{-}^{2}$; in questo modo si avrà che $\Delta \Phi =0,\;\forall y\in \Omega =\mathbb {R} _{+}^{2}$. Ci si chiede ora se $\exists x^{\star }(x)$ tale che $\Phi (x-y)-\Phi (x^{\star }-y)=0$. In sostanza si vuole determinare $x^{\star }(x)$ tale che

${\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x-y\mid =-{\frac {1}{2\pi }}\log \mid x^{\star }(x)-y\mid \\{\underline {y}}=(y_{1},0)\end{cases}},\;x\in \mathbb {R} _{+}^{2},\;x^{\star }\in \mathbb {R} _{-}^{2}$

Se ${\underline {x}}=(x_{1},x_{2})$ il sistema appena scritto è risolto dalla scelta:

${\underline {x}}^{\star }=(x_{1},-x_{2})\Rightarrow \,dist(y=0,x)=dist(y=0,x^{\star })$

Si nota quindi che $x^{\star }$, la posizione della carica immagine, corrisponde al simmetrico di $x$ nel semipiano negativo. Avendo determinato $x^{\star }$ è quindi possibile scrivere l'espressione esplicita della soluzione, usando la formula di rappresentazione. Infatti ora la funzione di Green è completamente determinata:

$G(x,y)=-{\frac {1}{2\pi }}\left(\log \mid x-y\mid +\log \mid x^{\star }-y\mid \right)$

Ora riscrivendo l'espressione per $u(x,y)$ con la formula di rappresentazione e la forma analitica appena determinata per la funzione di Green si ha una determinazione completa della soluzione del problema.