Equazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale

Per completezza, in questo modulo ci si occuperà di richiamare alcune delle principali nozioni legate alla teoria degli operatori.

Innanzitutto è bene inquadrare il problema: si lavorerà su spazi di Hilbert separabili ${\mathcal {H}}$ sul campo $\mathbb {C}$ (o $\mathbb {R}$). Sia $V$ una varietà lineare densa in ${\mathcal {H}}$. Sia ${\mathcal {L}}:V\rightarrow {\mathcal {H}}$ un operatore lineare; da definizione si ha che:

• ${\mathcal {L}}(v_{1}+v_{2})={\mathcal {L}}(v_{1})+{\mathcal {L}}(v_{2}),\;\forall v_{i}\in V$
• ${\mathcal {L}}(\alpha v)=\alpha {\mathcal {L}}v,\;\forall v\in V,\,\forall \alpha \in \mathbb {K}$

Nel caso infinito dimensionale può essere vero che $V$ e ${\mathcal {H}}$ non coincidano anche se la varietà lineare è densa in ${\mathcal {H}}$. Si ha che se:

$\parallel {\mathcal {L}}v\parallel _{\mathcal {H}}\leq M\parallel v\parallel ,\;\forall v\in V$

Allora ${\mathcal {L}}$ può essere esteso a tutto ${\mathcal {H}}$, conservandone la limitatezza.

Teorema

Ogni operatore ${\mathcal {L}}$ limitato in ${\mathcal {H}}$ è anche continuo e viceversa.

Se un operatore è limitato si avrà che:

${\frac {\parallel {\mathcal {L}}v\parallel }{\parallel v\parallel }}\leq M,\;\forall v\in {\mathcal {H}},\;v\neq 0$

Passando all'estremo superiore, si definisce norma di un operatore la quantità:

$\parallel {\mathcal {L}}\parallel =\sup _{v\in {\mathcal {H}}}{\frac {\parallel {\mathcal {L}}v\parallel }{\parallel v\parallel }}$

Definizione

Dato un operatore ${\mathcal {L}}$, si definisce operatore aggiunto, nello spazio di Banach ottenuto dotando ${\mathcal {H}}$ della norma indotta dalla definizione di cui sopra, l'operatore ${\mathcal {L}}^{\star }$ tale che:

$\left\langle {\mathcal {L}}u\mid v\right\rangle _{\mathcal {H}}=\left\langle u\mid {\mathcal {L}}^{\star }v\right\rangle _{\mathcal {H}}$

In virtù del teorema di Riesz è possibile concludere che esiste sempre, ed è limitato, l'aggiunto di un operatore lineare e limitato.

Dimostrazione

Sia $l(u)v=\left\langle {\mathcal {L}}u\mid v\right\rangle$. Esso è un funzionale lineare limitato, infatti:

$\mid l_{u}v\mid \leq \mid \left\langle {\mathcal {L}}u\mid v\right\rangle \leq \parallel {\mathcal {L}}u\parallel \parallel v\parallel \leq M\parallel u\parallel \parallel v\parallel$

Da cui segue la limitatezza di $l_{u}$. Si osserva anche che $l_{u}$ è prodotto scalare per un vettore, ovvero si può scrivere:

$l_{u}=\left\langle \cdot \mid w\right\rangle$

Per definizione allora $w={\mathcal {L}}^{\star }$, cioè l'aggiunto di ${\mathcal {L}}$

Definizione

Un operatore è detto simmetrico se coincide con il suo aggiunto:

$\left\langle {\mathcal {L}}u\mid v\right\rangle =\left\langle u\mid {\mathcal {L}}\mid v\right\rangle =\left\langle u\mid {\mathcal {L}}v\right\rangle$

Definizione

Si definisce operatore autoaggiunto un operatore lineare, limitato e simmetrico.

Tornando per un momento a quanto fatto nel modulo precedente, ovvero la risoluzione del problema di Sturm-Liouville per inversione, si ha la seguente osservazione: il passaggio da ${\mathcal {L}}u=\lambda u$ a ${\mathcal {G}}u={\frac {1}{\lambda }}u$ permette di passare da un operatore di derivazione, dunque non limitato, a un operatore integrale che quindi è limitato e simmetrico.

Definizione

Un operatore ${\mathcal {L}}$ su ${\mathcal {H}}$ si dice compatto se manda limitati in precompatti. Ovvero se $\forall {u_{n}}$, successione limitata su ${\mathcal {H}}$, la successione $\left\lbrace {\mathcal {L}}u_{n}\right\rbrace$ ammette una sottosuccessione convergente in ${\mathcal {H}}$.

Come conseguenza diretta di ciò si ha che ogni operatore compatto è anche limitato e il prodotto di un operatore limitato con uno compatto è ancora compatto.

Sia ${\mathcal {L}}$ un operatore simmetrico e compatto su ${\mathcal {H}}$ allora esso ammette un autovalore $\lambda _{0}$ che coincide con la sua norma:

$\lambda _{0}=\parallel {\mathcal {L}}\parallel$

In genearale si ha che ogni operatore (limitato) ha per autovalori dei numeri compresi tra $-\parallel {\mathcal {L}}\parallel$ e $\parallel {\mathcal {L}}\parallel$:

${\mathcal {L}}u=\lambda u\Rightarrow \parallel {\mathcal {L}}u\parallel =\mid \lambda \mid \parallel u\parallel \Rightarrow \mid \lambda \mid ={\frac {\parallel {\mathcal {L}}u\parallel }{\parallel u\parallel }}\leq \parallel {\mathcal {L}}\parallel$

Sfruttando questi due risultati si può concludere un'importante proprietà che è riassunta dalla seguente proposizione:

Sia ${\mathcal {L}}$ simmetrico e compatto, allora $\exists \,\lambda _{0}$ tale che $\lambda _{0}=\parallel {\mathcal {L}}\parallel$. Sia $u_{0}$ l'autovettore di ${\mathcal {L}}$, con autovalore corrispondente $\lambda _{0}$. Si costruisca lo spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}^{(1)}$ siffatto:

${\mathcal {H}}^{(1)}=\left\lbrace u\in {\mathcal {H}}\,\colon \,\left\lbrace u\mid u_{0}\right\rbrace =0\right\rbrace$

Si consideri la restrizione di ${\mathcal {L}}$ a ${\mathcal {H}}^{(2)}$: ${\mathcal {L}}$ continuerà a essere simmetrico, compatto, lineare e limitato. Pertanto anche per questa restrizione di ${\mathcal {L}}$ esisterà un certo $\lambda _{1}$ tale da soddisfare $\lambda _{1}=\parallel {\mathcal {L}}\parallel _{{\mathcal {H}}^{(1)}}$. Iterando questo processo si potrebbe creare ${\mathcal {H}}^{(2)}$, prendere la restrizione di ${\mathcal {L}}$ a questo nuovo spazio di Hilbert e trovare l'autovalore $\lambda _{2}$. Questo processo iterativo porterebbe alla costruzione di una successione di autovalori $\left\lbrace \lambda _{n}\right\rbrace$ e alla corrispondente successione di autovettori $\left\lbrace u_{n}\right\rbrace$. Per costruzione tutti gli $u_{n}$ saranno tra loro ortogonali e sarà dunque possibile concludere che la successione $\left\lbrace u_{n}\right\rbrace$ costituisce un sistema ortonormale.

Teorema

Sia ${\mathcal {H}}$ uno spazio di Hilbert e sia ${\mathcal {L}}$ un operatore simmetrico e compatto su ${\mathcal {H}}$. Allora esiste una successione di autovalori $\left\lbrace \lambda _{n}\right\rbrace$ per ${\mathcal {L}}$ tale che:

$\lambda _{n}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

I corrispondenti autovettori costituiscono un sistema ortonormale completo in ${\mathcal {H}}$ e vale che:

$\forall \,u\in {\mathcal {H}},\;u=\sum _{j=0}^{+\infty }\left\langle u_{j}\mid u\right\rangle u_{j}+h$

Dove $h\in \,ker{\mathcal {L}}\,\colon \,{\mathcal {L}}(h)=0$.

Dimostrazione

È già stata provata l'esistenza delle due successioni $\left\lbrace u_{n}\right\rbrace$ e $\left\lbrace \lambda _{n}\right\rbrace$. Si supponga, per assurdo, che la successione degli autovalori $\lambda _{n}$ non tenda a zero per $n$ che tende all'infinito. Si può dunque costruire la successione dei $v_{k}$ siffatti:

$v_{k}={\frac {1}{\lambda _{k}}}u_{k}$

Questa successione è limitata per ché $\parallel u_{k}\parallel =1$ e perché, per ipotesi di assurdo, il limite di $\lambda _{k}$ non è zero. La successione $\left\lbrace {\mathcal {L}}v_{k}\right\rbrace$ è compatta, dunque:

$\parallel {\mathcal {L}}v_{k}-{\mathcal {L}}v_{j}\parallel ^{2}=\parallel u_{k}-u_{j}\parallel ^{2}=2$

Dunque $\left\lbrace {\mathcal {L}}v_{k}\right\rbrace$ non converge e quindi si deve concludere, contro l'ipotesi di assurdo, che:

$\lambda _{k}{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

Sia ora $u^{(N)}=\sum _{j=0}^{N}\left\langle u_{j}\mid u\right\rangle u_{j}$, si ha che:

$\parallel {\mathcal {L}}(u-u^{(N)})\parallel \leq \mid \lambda _{N}\mid \parallel u-u_{N}\parallel \leq \mid \lambda _{N}\mid \parallel u\parallel ,\;u^{(N)}\in {\mathcal {H}}^{(N)}$

Sapendo che che per $n\rightarrow +\infty$, $\lambda _{n}\rightarrow 0$, si conclude:

${\mathcal {L}}(u-u^{(N)}){\underset {N\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

Dalla continuità di ${\mathcal {L}}$ segue che ${\mathcal {L}}(u-u^{(+\infty )})=0$, che significa che $(u-u^{(+\infty )})\in ker{\mathcal {L}}$. Dunque, detto $h=u-u^{(+\infty )}$ si ha che:

$u=\sum _{j=0}^{+\infty }\left\langle u_{j}\mid u\right\rangle u_{j}+h$