Equazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di D'Alembert

Le equazioni che determinano l'evoluzione di un fenomeno fisico, in realtà, raramente sono esattamente deducibili, ma sono dedotte da modellizzazioni del fenomeno stesso. In questo modulo verranno presentati due modelli che portano alla deduzione dell'equazione delle onde. Il primo di questi due modelli è quello di D'Alembert.

L'idea è quella di fare delle supposizioni che possano condurre a un modello in grado di descrivere in maniera piuttosto soddisfacente i fenomeni fisici ondulatori. Più precisamente, nel caso monodimensionale, si vuole arrivare all'equazione:

$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$

Detta $v^{2}={\frac {\tau }{\rho }}$, si può riscrivere:

$u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0$

Si supponga che sia nota $u(x,t)$, ovvero la curva che descrive la vibrazione a istante $t$ fissato. Supponiamo di voler dedurre l'equazione di cui sopra nel caso di una corda oscillante. Nel suo moto la corda si deforma: quello che si vuole è una relazione tra l'azione che produce la deformazione e la deformazione stessa. Sia $\Delta x$ l'elemento di prova su cui applicare le equazioni cardinali della dinamica.

In un sistema siffatto entrano in gioco due componenti di forze:

• la risultante delle forze che determina il moto della corda;
• una coppia di forze che ne determina la torsione.

Come prima ipotesi si supponga che non agiscano coppie di forze e dunque che il filo sia perfetto, privo di torsioni. La seconda ipotesi di cui ci si avvale in questo modello consiste nel supporre l'assenza di forze esterne. Chiaramente vi saranno delle forze interne che vanno considerate, infatti tagliando il filo i due lembi si separano. La forza interna responsabile di questo fenomeno è detta tensione. Sempre per l'ipotesi di filo perfetto, essendo nulle le torsioni dello stesso, è lecito supporre che la tensione debba agire tangenzialmente al filo. Detto ${\hat {h}}$ il versore tangente alla curva ed essendo nota la parametrizzazione della curva nel piano, è possibile scrivere che:

${\hat {h}}=\left(1,u_{x}\right){\frac {1}{\sqrt {1+u_{x}^{2}}}}$

La forza di tensione può essere scritta in funzione del versore ${\hat {h}}$:

$T=\tau (x,t){\hat {h}}(u)$

Ai capi di $\Delta x$ agiscono le forze di tensione. Per poter scrivere l'equazione di Newton per l'elemento di prova che si sta considerando è necessario conoscere l'accelerazione a cui esso è sottoposto: si supponga pertanto che il moto della corda sia puramente trasversale.

Prima di continuare è bene notare ancora una volta come la costruzione di un modello per descrivere un fenomeno fisico sia un processo che si basa su un insieme di ipotesi (restrittive o meno) necessarie per poter scrivere delle equazioni matematiche atte a descrivere il fenomeno fisico in questione.

Detto questo, si ha che $\rho \Delta x$ è la massa del tratto di corda che si sta considerando e ${\underline {a}}=u_{tt}{\hat {k}}$ è la sua accelerazione. Dunque, l'equazione di moto dell'elemento di prova $\Delta x$ è:

$\rho \Delta xu_{tt}{\hat {k}}=\tau {\hat {h}}(x+\Delta x)-\tau {\hat {h}}(x)\simeq {\frac {\partial }{\partial x}}(\tau {\hat {h}})\Delta x+o(\Delta x)$

Come ultima ipotesi si supponga che le oscillazioni siano "piccole". Più precisamente questo significa che $u_{x}\simeq o(1)$, dunque:

$u_{x}^{2}\ll u_{x}\ll 1$

Sotto tale ipotesi si ha anche che:

${\hat {h}}=(1,u_{x}){\frac {1}{\sqrt {1+u_{x^{2}}}}}\simeq (1,u_{x})\simeq {\hat {i}}+u_{x}{\hat {k}}$

L'equazione di moto per $\Delta x$ può essere riscritta come:

$\rho u_{tt}{\hat {k}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\tau ({\hat {i}}+u_{x}{\hat {k}})\right)+o(1)$

Proiettando lungo ${\hat {i}}$ si ha:

${\frac {\partial }{\partial x}}(\tau )=0$

Ovvero, la tensione non dipende dal punto della corda su cui è valutata: $\tau (x,t)=\tau (t)$. Proiettando lungo ${\hat {k}}$:

$\rho u_{tt}=\tau {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=\tau u_{xx}$

Ovvero:

$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$

Il processo deduttivo appena illustrato è dovuto a D'Alembert. Partendo dall'equazione delle onde così dedotta è possibile estendere a casi più generali.

• Considerando la presenza di forze di richiamo ${\underline {f}}=-\alpha u{\hat {k}}$ e di forze di attrito ${\underline {f}}=-\eta u_{t}{\hat {k}}$ si ottiene l'equazione dedotta da Lord Kelvin per spiegare il passaggio di corrente nei cavi elettrici, prima che fossero note le equazioni di Maxwell. Essa è detta equazione dei cavi telegrafici e ha la seguente forma:

  $\rho u_{tt}-\tau u_{xx}+\alpha u+\beta u_{t}=f(x,t)$

• Nel caso in cui $\beta =f=0$, dette $v^{2}={\frac {\tau }{\rho }}$ e $m^{2}={\frac {\alpha }{\rho }}$ si ricava l'equazione di Klein-Gordon:

  $u_{tt}-v^{2}u_{xx}+m^{2}u=0$

In definitiva, in questo modulo si è derivata un'equazione (quella delle onde) partendo da una modellizzazione del fenomeno fisico da essa descritto. Un approccio di questo tipo ai problemi è molto comune in fisica e per uno stesso problema è possibile avere modellizzazioni differenti. Nel caso della corda oscillante, ad esempio, esiste una seconda metodologia deduttiva dovuta a Lagrange, che vedremo più avanti. Entrambi i modelli, di Lagrange e di D'Alembert, rappresentano un modus operandi che partendo da elementi discreti, tramite opportune ipotesi e semplificazioni, è in grado di dedurre il comportamento di un sistema fisico nel continuo.