Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il metodo delle cariche immagine in più dimensioni

Nel modulo precedente abbiamo determinato l'espressione della funzione di Green nel caso di un problema di Dirichlet nel semipiano. Ci si chiede cosa cambi nel caso in cui si studi lo stesso problema in ${\mathbb {R}}^{n}$. Si procede in analogia con quanto visto per $\mathbb {R} ^{2}$.

In ${\mathbb {R}}^{n}$ la soluzione fondamentale del laplaciano è data da

$\Phi (x-y)={\frac {1}{n(n-2)\alpha _{n}}}{\frac {1}{\mid x-y\mid ^{n-2}}}$

Ancora si dovrebbe cercare $x^{\star }$ tale che $\Phi (x-y)-\Phi (x^{\star }(x)-y)=0$ con $y\in \partial \mathbb {R} _{+}^{n}=\left\lbrace (y,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,y_{n}\right\rbrace =0\,\forall \,y$. In sostanza, anche nel caso a più dimensioni, $x^{\star }$ corrisponde al punto riflesso di $x$ rispetto a $\partial \mathbb {R} _{+}^{n}$. Andando a cercare la soluzione esplicita del problema di Dirichlet nel semipiano in dimensione generica si ha che:

${\begin{cases}-\Delta u=f\\u\mid _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}=g\end{cases}},\;x\in \mathbb {R} _{+}^{n}$

Per poter scrivere l'espressione di $u(x)$ usando la formula di rappresentazione è necessario determinare l'espressione della derivata normale di $G(x,y)$. Sapendo che ${\frac {\partial \Phi }{\partial {\hat {n}}}}=-{\frac {y_{n}}{n\alpha (n)\mid y\mid ^{n}}}$ si ha che:

${\frac {\partial G}{\partial {\hat {n}}(x,y)}}={\frac {\partial \Phi (x-y)}{\partial {\hat {n}}}}-{\frac {\partial \Phi (x^{\star }-y)}{\partial {\hat {n}}}}=$

$={\frac {y_{n}-x_{n}}{n\alpha _{n}\mid x-y\mid ^{n}}}-{\frac {y_{n}-x_{n}^{\star }}{n\alpha _{n}\mid x^{\star }-y\mid ^{n}}}=-{\frac {2x_{n}}{n\alpha _{n}\mid x-y\mid ^{n}}}$

L'espressione appena determinata per la funzione di Green ci consente quindi di poter scrivere la soluzione esplicita del problema studiato. Nel caso particolare in cui $f(x)=0$, ovvero nel caso di un problema di Dirichlet nel semipiano per l'equazione di Laplace anzi che per quella di Poisson, si avrebbe che la forma esplicita di $u(x)$ è data da:

$u(x)=-{\frac {2x_{n}}{n\alpha _{n}}}\int _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}{\frac {g(y)}{\mid x-y\mid ^{n}}}d\sigma (y)$

che quindi soddisfa il problema al bordo:

${\begin{cases}-\Delta u=0\\u\mid _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}=g\end{cases}}$

La funzione:

$K(x,y)=-{\frac {2x_{n}}{n\alpha _{n}\mid x-y\mid ^{n}}}$

è detta nucleo integrale di Poisson per il semispazio.

I due esempi appena visti sono casi di applicazione del seguente teorema.

Sia $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n-1})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n-1})$ e sia $u(x)$ definita da:

$u(x)=-{\frac {2x_{n}}{n\alpha _{n}}}\int _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}{\frac {g(y)}{\mid x-y\mid ^{n}}}d\sigma (y)$

Allora si ha che:

• $u\in C^{\infty }(\mathbb {R} _{+}^{n})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} _{+}^{n})$
• $\Delta u=0inR+n\mathbb {R} _{+}^{n}$
• $\lim _{x\rightarrow x_{0}}u(x)=g(x_{0}),\;\forall \,x_{0}\in \partial \mathbb {R} _{+}^{n}$

da cui discende il seguente lemma:

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. Allora $\forall x,y\in \Omega$ con $x\neq y$ si ha che $G(x,y)=G(y,x)$. Ovvero, la funzione di Green (per qualsiasi problema) è un nucleo simmetrico.