Equazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville

Teorema

Sia $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ armonica e limitata. Allora $u$ è costante.

Dimostrazione

Prendiamo $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, $u(x_{0})=\oint _{B(x_{0},r)}u(y)dy$. Sappiamo che $u$ è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

${\frac {\partial {}}{\partial {x_{i}}}}\Delta u=0=\Delta \left({\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}\right)\rightarrow \Delta u_{x_{i}}=0$

anche la derivata prima di $u$ è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.

$u_{x_{i}}(x_{0})=\oint _{B(x_{0},r)}u_{x_{i}}(y)dy$

Utilizziamo la prima formula di Green:

$u_{x_{i}}={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}1\cdot {\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}(y)dy={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)$

Abbiamo legato derivata con la funzione $u$, ma ora sappiamo che $u$ è limitata.

${\begin{aligned}\left|{\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}(x_{0})\right|&=\left|{\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)\right|\\&\leq \left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}\cdot {\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B}1d\sigma (y)\\&\leq \left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}{\frac {n\alpha (n)r^{n-1}}{\alpha (n)r^{n}}}\leq {\frac {n\left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}}{r}}\end{aligned}}$

Siccome deve valere per ogni $r$ allora si ottiene che ${\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}=0\;\forall x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, quindi $u$ è costante in ${\mathbb {R}}^{n}$.