Equazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville

Prendiamo $x_{0} \in ℝ^{n}$ , $u (x_{0}) = \oint_{B (x_{0}, r)} u (y) d y$ . Sappiamo che $u$ è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

$\frac{\partial}{\partial x_{i}} Δ u = 0 = Δ (\frac{\partial u}{\partial x_{i}}) \to Δ u_{x_{i}} = 0$

anche la derivata prima di $u$ è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.

$u_{x_{i}} (x_{0}) = \oint_{B (x_{0}, r)} u_{x_{i}} (y) d y$

Utilizziamo la prima formula di Green:

$u_{x_{i}} = \frac{1}{α (n) r^{n}} \int_{B (x_{0}, r)} 1 \cdot \frac{\partial u}{\partial x_{i}} (y) d y = \frac{1}{α (n) r^{n}} \int_{\partial B (x_{0}, r)} u (y) \cdot n_{i} d σ (y)$

Abbiamo legato derivata con la funzione $u$ , ma ora sappiamo che $u$ è limitata.

$\begin{matrix} | \frac{\partial u}{\partial x_{i}} (x_{0}) | & = | \frac{1}{α (n) r^{n}} \int_{\partial B (x_{0}, r)} u (y) \cdot n_{i} d σ (y) | \\ \leq {| u |}_{ℒ^{\infty}} \cdot \frac{1}{α (n) r^{n}} \int_{\partial B} 1 d σ (y) \\ \leq {| u |}_{ℒ^{\infty}} \frac{n α (n) r^{n - 1}}{α (n) r^{n}} \leq \frac{n {| u |}_{ℒ^{\infty}}}{r} \end{matrix}$

Siccome deve valere per ogni $r$ allora si ottiene che $\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = 0 \forall x_{0} \in ℝ^{n}$ , quindi $u$ è costante in $ℝ^{n}$ .