Equazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville

Ci si vuole occupare della risoluzione del problema di Sturm-Liouville. Innanzitutto si nota che esso può essere scritto in forma generica come:

${\begin{cases}{\mathcal {L}}u=\lambda u=f\\B.C.\end{cases}},\;u\in {\mathcal {D}}({\mathcal {L}}),\,f\in C^{0}\left(\left(0,L\right)\right)\cap C^{2}\left(\left[0,L\right]\right)$

Quindi, risolvere il problema di Sturm-Liouville significa essere in grado di risolvere l'equazione differenziale ${\mathcal {L}}u=f$. Si nota però che la risoluzione di un'equazione non è altro che un problema di inversione. Più precisamente, nel caso in esame, si tratterà di essere in grado di invertire l'operatore ${\mathcal {L}}$ per poter scrivere:

$u={\mathcal {L}}^{-1}f$

Chiaramente, affinché quanto appena detto sia fattibile, occorre che $ker{\mathcal {L}}=0$. Pertanto si studierà il problema di cui sopra con l'ipotesi preliminare che ${\mathcal {L}}$ non abbia autovalore nullo.

Ora che si è inquadrato il problema, possiamo procedere con la sua risoluzione. Innanzitutto si considerino $v_{1},v_{2}$ soluzioni distinte dei due problemi ${\mathcal {L}}v_{i}=0$ con condizioni al bordo date da:

$h_{1}v_{1}(0)-h_{2}v_{1}^{\prime }(0)=0$

$H_{1}v_{2}(L)+H_{2}v_{2}^{\prime }(L)=0$

È possibile che esistano due soluzioni che soddisfano queste condizioni, a patto di prenderle tra loro linearmente indipendenti. Se $v_{1},v_{2}$ non fossero linearmente indipendenti, allora dovrebbero essere una multiplo dell'altra e soddisfare contemporaneamente le condizioni al bordo, ma questa richiesta sarebbe equivalente ad ammettere che ${\mathcal {L}}$ abbia autovalore nullo, caso che escludiamo per ipotesi preliminare. Siano dunque $v_{1},v_{2}$ linearmente indipendenti. Il wronskiano dell'equazione differenziale di secondo ordine associata al problema per ${\mathcal {L}}$ è dato da:

$W(x)={\begin{vmatrix}v_{1}(x)&v_{2}(x)\\v_{1}^{\prime }(x)&v_{2}^{\prime }(x)\end{vmatrix}}\neq 0$

Si consideri il seguente lemma:

Dato l'operatore di Sturm-Liouville ${\mathcal {L}}=-\left(p(x){\frac {d}{dx}}\right)^{\prime }+q(x)$, e dato il problema al bordo sull'intervallo $[0,L]$ a esso associato si ha che:

$\left(pW\right)(x)=\left(pW\right)(0)$

Dove $W(x)$ è il determinante wronskiano dell'equazione differenziale (equazione agli autovalori) di secondo ordine associata all'azione di ${\mathcal {L}}$.

Si ha che $(pW)(x)=cost$ dal momento che:

$(pW)^{\prime }(x)=v_{1}(pv_{2}^{\prime })^{\prime }-v_{2}(pv_{1}^{\prime })^{\prime }=-v_{1}qv_{2}+v_{2}qv_{1}=0$

Dunque $(pW)^{\prime }=0\,\Rightarrow (pW)(x)=(pW)(0)$.

Sfruttiamo il risultato del lemma per risolvere ${\mathcal {L}}v=f$ come equazione differenziale, usando il metodo di variazione delle costanti. Si ha che:

${\begin{bmatrix}v_{1}(x)&v_{2}(x)\\v_{1}^{\prime }(x)&v_{2}^{\prime }(x)\end{bmatrix}}\left({\begin{matrix}c_{1}^{\prime }(x)\\c_{2}^{\prime }(x)\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\f(x)\end{matrix}}\right){\frac {1}{p(x)}}$

Da cui si ricavano i seguenti valori per $c_{1}^{\prime },c_{2}^{\prime }$:

$c_{1}^{\prime }(x)={\frac {v_{2}(c)f(x)}{pW}}$

$c_{2}^{\prime }(x)=-{\frac {v_{1}(x)f(x)}{pW}}$

Da cui è possibile ricavare i valori di $c_{1}(x),c_{2}(x)$ integrando. Avendo osservato nel lemma che $pW=cost$, gli integrali ne saranno indipendenti. Si ottiene:

$u(x)=c_{1}v_{1}(x)+c_{2}v_{2}(x)-{\frac {v_{1}(x)}{pW}}\int _{x}^{L}dyv_{2}(y)f(y)-{\frac {v_{2}(x)}{pW}}\int _{0}^{x}dyv_{1}(y)f(y)$

Occorre determinare i valori delle costanti $c_{1},c_{2}$ imponendo che $u(x)$ soddisfi le condizioni al bordo. Si ottiene che esse sono soddisfatte se e solo se $c_{1}=c_{2}=0$. La soluzione dell'equazione differenziale coincide con la soluzione della non omogenea, ottenuta per variazione delle costanti:

$u(x)=-{\frac {v_{1}(x)}{pW}}\int _{x}^{L}dyv_{2}(y)f(y)-{\frac {v_{2}(x)}{pW}}\int _{0}^{x}dyv_{1}(y)f(y)$

Generalmente la si riscrive come:

$u(x)=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)f(y)dy,\;{\mathcal {G}}(xy)=-{\frac {1}{pW}}{\begin{cases}v_{1}(x)v_{2}(y),\;0<x<y\leq L\\v_{1}(y)v_{2}(x),\;0<y<x\leq L\end{cases}}$

La funzione ${\mathcal {G}}(xy)$ si chiama funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville e coincide con il nucleo integrale di tale operatore. Si osserva quindi che partendo da ${\mathcal {L}}u=f$ e trattandolo come un problema di inversione si ottiene che:

$u={\mathcal {L}}^{-1}f=\int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)f(y)dy$

Un'altra importante osservazione che è opportuno fare a questo punto è legata alla regolarità della funzione che si ottiene: partendo dall'azione di un operatore differenziale si è ottenuta una funzione che dipende dall'azione di un operatore integrale, quindi si può concludere che l'inversione del problema di Sturm-Liouville ritorna un risultato, per esempio una funzione, più regolare di quella di partenza.

L'operatore $f\mapsto \int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(cy)f(y)dy$ è un operatore lineare in $C^{0}((0,L))\cap C^{2}([0,L])$ e corrisponde all'inverso dell'operatore ${\mathcal {L}}$ su ${\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$ se $\lambda =0$ non è autovalore per l'operatore di Sturm-Liouville ${\mathcal {L}}$.

La funzione di Green ${\mathcal {G}}(xy)$ è continua in $[0,L]\times [0,L]$. Collegandoci a quest'ultima osservazione, è opportuno chiedersi anche che cosa si possa concludere sulla derivabilità di ${\mathcal {G}}$. Si può concludere che, oltre che continua, la funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville è anche differenziabile su $[0,L]\times [0,L]$, tranne che sulla diagonale $x=y$. Concludiamo questo modulo con un'importante osservazione che lega autovalori e autovettori dell'operatore di Sturm-Liouville a quelli della funzione di Green ad esso associata.

Si è osservato che, partendo da ${\mathcal {L}}u=f$ è possibile trovare l'espressione esplicita di $u(x)$ studiando questo come un problema di inversione. Torniamo ora al caso in cui l'equazione da risolvere sia proprio quella agli autovalori per ${\mathcal {L}}$, ovvero ${\mathcal {L}}u=\lambda u$. In questo caso si avrà che:

$u=\lambda \int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)u(y)dy,\;u\in {\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$

Si definisca:

${\mathcal {G}}u(x)\equiv \int _{0}^{L}{\mathcal {G}}(xy)u(y)dy={\frac {1}{\lambda }}u$

Si conclude quindi che, nell'ipotesi in cui $\lambda \neq 0$, la coppia $(\lambda ,u)$ è coppia autovalore/autovettore per ${\mathcal {L}}$ se e solo se la coppia $\left({\frac {1}{\lambda }},u\right)$ è coppia autovalore/autovettore per ${\mathcal {G}}$.