Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta

Sfruttiamo il teorema di D'Alembert per studiare il problema di Cauchy sulla retta:

${\begin{cases}u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x,0)=u_{0}(x)\in C^{2}(\mathbb {R} )\\u_{t}(x,0)=v_{0}(x)\in C^{2}(\mathbb {R} )\end{cases}}$

Se $u(x;t)$ è soluzione classica ed è di classe $C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ allora, in virtù del teorema di D'Alembert, è possibile scrivere:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

Questa espressione di $u(x;t)$ deve chiaramente soddisfare i dati iniziali del problema di Cauchy considerato:

${\begin{cases}u_{0}(x)=f(x)+g(x)\\v_{0}(x)=-vf^{\prime }(x)+vg^{\prime }(x)\end{cases}}$

Da cui segue che:

${\begin{cases}f(x)+g(x)=u_{0}(x)\\-f(x)+g(x)={\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds+\alpha \end{cases}}$

È dunque possibile ricavare l'espressione per $f(x)$ e $g(x)$:

${\begin{cases}f(x)={\frac {1}{2}}\left(u_{0}(x)-{\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds-\alpha \right)\\g(x)={\frac {1}{2}}\left(u_{0}(x)+{\frac {1}{v}}\int _{0}^{x}v_{0}(s)ds+\alpha \right)\end{cases}}$

In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy può essere scritta come:

$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-vt}^{x+vt}v_{0}(s)ds\right]$

Quanto appena visto in realtà è un'applicazione diretta del seguente teorema.

Sia $u(x;t)\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$ soluzione classica del problema di Cauchy:

${\begin{cases}\quad u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{t}(x;0)=v_{0}(x)\end{cases}},\;{\text{con }}u_{0},v_{0}\in C^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} )$

Allora, l'unica soluzione del problema di Cauchy sulla retta è:

$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-vt}^{x+vt}v_{0}(s)ds\right]$

Sebbene il teorema precedente abbia una portata molto ampia, è bene notare che nel caso in cui $v_{0}(x)=0$ allora la soluzione del problema di Cauchy sarà data da:

$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)\right]$

Che può essere costruita utilizzando una funzione a gradino. In effetti, in questo caso, non si ha più regolarità nei dati iniziali e quindi la soluzione non sarà più classica: infatti viene meno una delle ipotesi del teorema precedente.

Il risultato del teorema precedente è esprimibile in forma ancor più generica, infatti lo studio del seguente problema di Cauchy:

${\begin{cases}\Box u=0\\u(x;t_{0})=u_{0}(x)\\u_{t}(x;t_{0})=v_{0}(x)\end{cases}}$

porta a ricavare la seguente espressione per la soluzione:

$u(x;t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x-vt)+u_{0}(x+vt)+{\frac {1}{v}}\int _{x-v(t-t_{0})}^{x+v(t-t_{0})}v_{0}(s)ds\right]$

Quanto appena detto consente di arrivare a un'importante conclusione: la soluzione dell'equazione delle onde non solo è invariante per inversioni temporali, ma anche per traslazioni temporali. Questo implica che la soluzione dell'equazione delle onde è invariante anche per trasformazioni di Lorentz.