Equazioni differenziali alle derivate parziali/Modello di Lagrange

Nei moduli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde a partire dal modello di D'Alembert. In questo modulo ci si sofferma su un modello differente da quello già presentato, che però permette di giungere alle medesime conclusioni: il modello di Lagrange.

In questo approccio la corda vibrante è idealizzata a un sistema continuo costituito da $N$ particelle identiche, tra loro collegate e interagenti da molle, tutte con la medesima costante elastica $k$. In tale modello si assumono anche le seguenti ipotesi:

• il moto delle particelle è unicamente trasversale;
• si suppone che le particelle interagiscano tra loro tramite forze elastiche. Tutte le forze elastiche sono tra loro identiche, avendo le particelle stessa massa e le molle stessa costante elastica, e le interazioni avvengono solo tra primi vicini.

Partendo da questa approssimazione discreta, l'equazione delle onde si otterrà passando al limite per $N\rightarrow \infty$ e $a\rightarrow 0$.

Il sistema si studia usando la meccanica lagrangiana, pertanto è necessario calcolare il contributo di energia cinetica e di energia potenziale totale del sistema. Ogni particella sarà descritta dalla coppia di coordinate $(ia,u_{i}),\;i=0,\dots ,N+1$. Si ha:

$T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m}{2}}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)$

Mentre per l'energia potenziale:

$V=\sum _{i=1}^{N}r_{i,i+1}^{2}=\sum {\frac {k}{2}}\left[((i+1)a-ia)^{2}+(u_{i+1}-u_{i})^{2}\right]$

Sapendo che i contributi costanti di $V$ non hanno effetto sulle equazioni di Eulero-Lagrange del sistema e quindi possono essere trascurati, si può scrivere che il valore di $V$ è:

$V={\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$

In definitiva, la lagrangiana del sistema è data da:

${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=0}^{N+1}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$

L'evoluzione del sistema è studiabile grazie alle equazioni di Eulero-Lagrange:

$m{\ddot {u}}_{i}=-k\left[(u_{i}-u_{i+1})+(u_{i}-u_{i-1})\right],\;\forall i=1,\dots ,N$

Dividendo per $a$ si ottiene:

${\frac {m{\ddot {u}}_{i}}{a}}=ak{\frac {\left({\frac {u_{i+1}-u_{i}}{a}}-{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{a}}\right)}{a}}$

Il fattore che compare al lato destro dell'equazione appena scritta, può essere pensato come il rapporto incrementale che definisce la derivata seconda. Ovvero:

$\lim _{a\rightarrow 0,N\rightarrow +\infty }{\frac {\left({\frac {u_{i+1}-u_{i}}{a}}-{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{a}}\right)}{a}}=u_{xx}$

Questo passaggio al limite consente di definire ${\frac {m}{a}}\rightarrow \rho$ e $ak\rightarrow \tau$. In realtà questi due limiti sono ipotesi che è necessario, e sensato, fare affinché il sistema abbia significato fisico.Questo passaggio al limite porta a poter riscrivere l'equazione di moto vista sopra come:

$\rho u_{tt}-\tau u_{xx}=0$

Abbiamo dunque derivato l'equazione delle onde, nel caso monodimensionale, partendo da un modello, e dunque da un impianto di ipotesi, differente da quello di D'Alembert già visto.

Concludiamo questo modulo osservando che la derivazione appena effettuata si basa su un passaggio al limite, cosa che non avveniva nel modello di D'Alembert. Questo passaggio al limite è estremamente importante perché consente di giungere alla seguente osservazione.

Data la lagrangiana:

${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}\sum _{i=0}^{N+1}{\dot {u}}_{i}^{2}(t)-{\frac {k}{2}}\sum _{i=0}^{N}(u_{i+1}-u_{i})^{2}$

L'equazione delle onde si ricava passando al limite per $N\rightarrow +\infty$ e $a\rightarrow 0$, che equivale a scrivere:

$\lim _{N\rightarrow +\infty }{\mathcal {L}}=\int _{a}^{b}\left({\frac {\rho }{2}}u_{t}^{2}-{\frac {\tau }{2}}u_{x}^{2}\right)dx$

Ovvero, è possibile concludere che un sistema continuo ammette lagrangiana. Questa breve osservazione ci porta anche a poter concludere che un sistema continuo ammette pure equazioni di Eulero-Lagrange.